閉集是什麼意思

導論

定性比較分析（QCA，Qualitative Comparative Analysis）最初由Charles Ragin（1987；2009）提出，遵循密爾的比較方法，利用布林代數的邏輯來進行因果推斷。該方法旨在突出案例導向方法的獨特優勢，並且透過布林代數進行形式化，成為定性比較研究中普適的方法（C。Ragin，1987：X）。雖然QCA方法在近些年發展非常迅速，APSA，ICPSR，IPSA等機構都有相關的研習課程。Stata，R和UNIX等軟體也開發出了相應的包（package），但是這一方法依然面臨著大量的批評。這些批評要麼關注於QCA背後隱藏假設的問題（Seawright 2005b），或者是不正確的推斷（Hug 2013， Braumoeller 2015， Krogslund et al。 2015），亦或者是和傳統統計方法相比的獨特性缺乏（Brady 2013， Paine 2016a，b）。

英國哲學家、政治經濟學家約翰·密爾（John Mill）

作者認為，儘管上述批評都是有意義的，但是有一個關鍵問題目前並沒有提到，即基於二元（0-1）布林代數的計算，它限制了研究者分析社會的視野。這種限制體現在三個方面：

其一，二元布林代數限制了研究者對集合（sets）以及集合間互動作用的認識；

其二，作為一種命題邏輯（propositional logic），二元布林代數在解釋現代社會科學理論上是比較無力的；

其三，QCA方法無法對反事實進行建模，只能侷限於常規的因果推斷（必要性、充分性、INUS條件（充分不必要條件中的必要不充分部分，Mackie， 1965；1980））。

所以QCA和傳統統計推斷的區別在於前者是基於二元布林代數的命題邏輯，而並非所謂的“集合論”與“非集合論”或迴歸分析法的區別。所以QCA實際上是處於定性研究和定量研究之間的區域，但是既沒有小樣本（small-N）定性研究的深度，也沒有定量研究的推斷能力。

布林代數簡介

布林代數作為一種所謂“集合論”的方法，與傳統的統計推斷有很大區別。而QCA方法重點使用的是二元布林代數的邏輯，這是布林代數最簡單的形式。布林代數包括以下幾個部分：一個非空集合S；兩個演算法——並集和交集；補集；兩個元素——0和1。運算符合以下法則：

而二元布林代數有如下的性質：

正因為QCA使用布林代數的邏輯，而統計推斷使用線性代數的邏輯，故QCA的支持者聲稱QCA和統計方法是完全不同的。例如在布林代數中，x∪-x=1，而線上性代數中，x+（-x）=0（Thiem， Baumgartner， and Bol，2016：748）。但是這種理解是錯誤的，其原因在於在將布林代數語言轉換為線性代數語言的過程中，“-”應該理解為“1-”而非負的。所以聲稱兩種代數的邏輯不相稱實際上是有誤的。

集合、布林代數和統計學

基於上文的考慮，作者認為，定量方法是以集合和布林代數為基礎的，定量研究者基於更廣義的布林代數來理解和使用集合論的方法，而QCA的支持者並沒有意識到集合、布林代數和統計學之間的關係。以一個輪盤為例：

該輪盤包括1到36以及0，00共38個值，三種色區（黑色、紅色和綠色）。對於非空集S={0，00，1，2，…，36}來說，每一個值都是該集合的元素，每一個色區都是該集合的子集。這個例子說明，定量（以數值為基礎）和布林代數（以事件，即該例子中的色區，為基礎）對於集合和處理只是形式上的區別，而並沒有本質差異。

當我們轉動輪盤時，我們看到的是顏色的分割槽，進一步看到相應的數值，這就是從事件到統計資料的過程。這種資料被稱為隨機變數（random variable），而將隨機變數再透過某一過程（即函式或對映）轉換為事件結果。上述這種做法就是一種代數的做法，或者叫域（field）的方法。

再進一步定義集合簇（collection），如果集合簇滿足三個條件，則成為一個域：

1、 結果集屬於集合簇；

2、 如果某個集合屬於集合簇，那麼這個集合的補集也屬於集合簇；

3、 如果兩個集合都屬於集合簇，那麼它們的並集也屬於集合簇。

上述定義說明集合簇是非空的閉集。而集合簇的運算則是一種布林代數的運算。透過這種方式，布林代數和隨機變數就產生了聯絡。

再將機率引入集合簇中，如果滿足三個條件，則集合簇可被視為是一個機率集合函式：

1、 結果集（全集）的機率是1；

2、 任意集合簇中的事件（元素）的機率大於或等於0；

3、 如果兩個事件是互斥的獨立事件，那麼他們同時發生的機率是它們分別發生的機率之和。

那麼這一集合中的每個事件及其機率則組成了一個機率分佈列。以此為基礎，則能進一步處理機率密度函式的問題。當涉及到具體的數值時，集合論者就認為這個並不是基於集合而發展出來的，但是實際上是一樣的。例如考慮如下分佈列：

分佈列中每個數值都有對應的機率，而將數值重編碼為零和非零，機率和依然是1，以0為元素的集合和以非零值為元素的集合的交集事件，其發生機率是0。這就說明機率和布林代數依然是有關係的。

將集合對應到機率上，就能夠進一步進行相加、相減和均值處理的操作。但對於以二元布林代數為基礎的QCA方法來說，就只有交集、並集和補集，沒有平均值、中位數、眾數、數學期望和方差等統計量，這實際上並不利於社會科學對現實世界的理解。儘管Ragin（2000）發展出了模糊集定性比較分析（fsQCA），也並沒有改變這一困境。傳統的QCA方法（或者說csQCA）和模糊集都利用真值表來處理相關問題，二者的差異僅在於對真值表的處理上，前者採用二值處理（屬於或不屬於），而後者採用漸進的等級劃分。

相比較而言，統計方法則不受二元布林代數的限制。透過對不確定性的分析，統計方法可以描述樣本分佈的中心趨勢（central tendency）。同時統計方法也可以透過對隨機變數的線性迴歸估計量來討論不同集合之間的差異，這些是QCA方法無法做到的。Ragin（2005）宣稱QCA是基於集合論的代數方法，而非基於迴歸分析的線性代數方法。基於上文的考察，這一宣稱所強調的集合論和非集合論的區分僅僅是一個噱頭（selling point）而已。

布林代數的邏輯

邏輯有很多種，例如命題邏輯、演繹邏輯、模型邏輯以及一些非經典邏輯如構造邏輯等，而QCA方法就僅僅是布林代數模型的命題邏輯。命題是一個陳述，或對或錯，二者取一。命題邏輯關注簡單的陳述和它們之間存在的關係（或者不存在關係）。它的真假是一個真值函式，即真值是命題邏輯中各項命題真值的函式。二元布林代數就是一個命題邏輯模型，形式如下：

或者用演算法表來表示，即

也可以用真值表來表示，即

雖然這種邏輯在計算機科學（以二進位制0和1為基礎）和電氣工程中有重要作用，但是對於複雜的社會科學來說，這個邏輯並不像QCA的支持者所認為的那樣是可靠的，而是存在很大的侷限性。例如以下述三段論為例：

所有民主政體都有合法性

美國是民主政體

美國具有合法性

命題邏輯是無法處理上述三段論問題的，因為命題邏輯關注單獨的命題以及命題的關係，忽略命題本身的結構。在這個例子中，命題邏輯只能處理單一的命題，而不會關注命題中的物件（美國）和性質（合法性）。也就會出現下圖左邊的不穩健推斷。

而上圖右邊的推斷是穩健的，因為這一推斷的前提不是單一命題，而是命題的巢狀，即如果“美國是民主政體，那麼它具有合法性”（D→L）和“美國是民主政體”（D），從而推匯出結論“美國具有合法性”（L）。由於這種問題，命題邏輯進一步推動了謂詞邏輯的發展，即“任意”∀和“存在”∃的出現，這種邏輯則是Halmos代數和柱形代數。但是QCA的二元布林代數邏輯模型則並非這種謂詞邏輯模型，這種邏輯語言是一種弱語言（weak language），無法處理三段論或者普遍經驗法則的問題。

因果關係與命題邏輯

QCA研究者根據充分性和必要性來理解因果，關注因果關係的規律性描述。所以當大多數學者關注反事實分析或者潛在結果分析時，QCA研究者仍然致力於研究這些源於18世紀的規律驗算。所以當我們理解將必要和充分等同於提示符“→”時，他們的觀點就並不令人費解了。即充分條件是X→Y，而必要條件是X←Y。基於這個條件進一步發展出來的INUS條件成為QCA進行因果推斷的命題邏輯方法，而這些是可以透過二元布林代數表達出來的。但是對於反事實，往往無法驗證。例如考慮這樣的反事實，如果Collier沒有去芝加哥大學，他就不會成為美國研究者，但是這個反事實是否正確呢，不得而知。有些QCA理論家認為可以透過¬ X→¬Y來表述反事實，但是實際上這並不是反事實，甚至都不是因果關係，這一表達是存在於真值表中的，而真正反事實是其前提並不存在。

所以定量學者並不會遇到這種限制，對於二值變數問題，他們會透過Logistic迴歸，飽和迴歸（saturated regression）或結構因果模型（Pearl， 2009）來處理。

結論

儘管遭受了很多批評，QCA在近些年依然飛速發展。透過集合論（理解為二元布林代數（0-1））以及自然語言（理解為命題邏輯），QCA認為能夠進行因果推斷，但是實際上忽略了這些工具在分析社會科學時的侷限性。作者首先展示了二元布林代數的侷限性，其次說明命題邏輯是一種弱語言，最後說明QCA方法依靠充分性、必要性和INUS條件，限制了研究人員的思考。作者認為QCA雖然處於定性和定量研究的中間地帶，但是它所帶來的好處並不能遮蓋它的侷限性。

作者簡介：

Kevin A。 Clarke，羅徹斯特大學政治學系副教授

文獻來源：

Kevin A。 Clarke （April 2020）。 “Logical Constraints： The Limitations of QCA in Social Science Research。” Political Analysis， pp。1-17。

編譯：

劉天祥