旋轉時什麼不變什麼變化

一線三等角定義：

指的是

有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形

，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區對此有不同的稱呼，通常稱為“

K字模型

”，也有部分地方稱為“

M形圖

”。

起源與基本型別

DE繞A點旋轉，從外到內，從一般位置到特殊位置。

基本型別：

同側“一線三等角”

異側“一線三等角”

性質

1。一般情況下，如下左圖，易得△AEC∽△BDE。

2。當等角所對的邊相等時，則兩個三角形全等。（若CE=ED，則△AEC≌△BDE）

3。中點型“一線三等角”

如右上圖，當∠1=∠2=∠3，且D是BC中點時，△BDE∽△CFD∽△DFE。

4。“一線三等角”的各種變式

應用

1。“一線三等角”應用的三種情況。

a。圖形中已經存在一線三等角，直接應用模型解題；

b。圖形中存在“一線二等角”，補上“一等角”構造模型解題；

c。圖形中只有直線上一個角，補上“二等角”構造模型解題。

2。在定邊對定角問題中，構造一線三等角是基本手段。

3。構造一線三等角的步驟：

找角

、

定線

、

構相似

。

如上圖，線上有一特殊角，就考慮構造同側型一線三等角，當然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角與線段的關係，過C、D兩點作直線l的垂線是必不可少的。

模型建立

例 如圖2，已知E是矩形ABCD的邊AB上一點， EF⊥DE交BC於點F，

試說明：ΔADE∽ΔBFE。

分析:

要證明ΔADE與ΔBFE相似，已經知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一對相等的角即可。

解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°

∵EF⊥DE

∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90°

又 ∵∠1+∠3=90°

∴∠1=∠2

∴ΔADE∽ΔBFE

小結:

此時，在直線AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一條線上有3個直角，

兩邊的ΔADE與ΔBFE相似。這個相似的基本圖形像字母K，可以稱為

“K”

型相似，但更因為圖形的結構特徵是一條線上有3個垂直關係，也常被稱為“一線三垂直”。透過例題，我們已經證明，“一線三垂直”可以得出相似三角形，那普通的3個等角又會怎樣呢？

變式1

如圖3，已知等邊三角形ABC， 點D、E分別為BC，AC上的點，

∠ADE=60º。

（1） 圖中有相似三角形嗎？如果有，請說明理由。

（2） 如圖4，若將∠ADE在ΔABC的內部（∠ADE兩邊不與BC重合）繞點D逆時針旋轉一定的角度，得到的兩三角形仍相似嗎？

分析:

（1）此時，在直線BC上，∠B=∠ADE=∠C=60°，一條線上有3個等角，兩邊的ΔABD與ΔDEC相似嗎？

（2）旋轉後，變化中的不變數是什麼？ΔABD與ΔDEC相似嗎？

解答:

（1）在等邊三角形ABC中，

∠B=∠C=60°

∵∠ADE=60º

∴∠2+∠3=120°

又 ∵∠1+∠3=120°

∴∠1=∠2

∴ΔABD∽ΔDCE

另外：ΔADE與ΔACD也相似。

∵∠DAE=∠CAD（公共角）

∠ADE=60º=∠DCA

∴ΔADE∽ΔACD

（2）旋轉後，變化中的不變數是∠ADE的大小

那麼，依然可以有：

∵∠2+∠3=120°

又 ∵∠1+∠3=120°

∴∠1=∠2

∴ΔABD∽ΔDCE

小結:

此時，一條線上的三個等角由90°變成了60°，兩邊的三角形依然相似。那麼，更一般的等角呢？

變式2

如圖5，隱藏變式1圖形中的線段AE，在得到的新圖形中，

（1） 如果∠B=∠C=∠ADE=50º，圖中有相似三角形嗎？

（2）如圖6，若∠B=∠C=∠ADE=∠α，∠α為任意角，還有相似三角形嗎？

分析:

等角由90°變為60°，三角形依然相似。再變為50º，任意角α，雖然等角的大小發生了變化，但等量關係沒變。

解答:

（1） ∵∠B=∠C=∠ADE=50º

∴∠2+∠3=130°

又 ∵∠1+∠3=130°

∴∠1=∠2

∴ΔABD∽ΔDCE

（2）

∵∠B=∠C=∠ADE=α

∴∠2+∠3=180°-α

又 ∵∠1+∠3=180°-α

∴∠1=∠2

∴ΔABD∽ΔDCE

小結

：現在，我們已經從特殊角過渡到任意角，證明在一條線上，只要有3個等角，兩邊的三角形就一定相似。

這個相似的基本模型就是“一線三等角”。

模型應用

開啟我們的新年禮包：

已知，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個項點分別在這三條平行直線上，則sinα的值是（ ）

分析:

觀察這個圖形， ∠α不是特殊角，要求sinα的值，首先要把角α放在一個直角三角形中，於是過點B作垂線，構造直角三角形ABF。又已知△ABC是等腰直角三角形，要用到∠ACB 為直角和AC=CB的特殊條件，及平行線之間的等距條件，所以分別過點A、B作垂線，構造“一線三等角”的相似基本圖形。

解答:

由“一線三等角”，得ΔACD∽ΔCBE

由AC=AB，得ΔACD≌ΔCBE，

由平行線等距，可設平行線間的距離為d，

小結:

在數學中，我們常透過模型來建立數量之間的關係或圖形間的聯絡，本題中，透過建立“一線三等角”這種相似的基本模型可以巧妙的使問題得解。

初中數學“一線三等角”解析一：總結定義：兩個相等的角一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側或異測，第三個與之相等的角的頂點在前一組等角的頂點中所確定的線段上或線段的延長線上，另外兩邊分別位於一直線的同側或異測與兩等角兩邊相交，會形成一組相似三角形，習慣上把該組相似三角形習慣上稱為“一線三等角型”相似三角形二：常出現

模型

：等腰三角形中底邊作一角與底角相等；等腰梯形中上（下）底作一角與上（下）底角相等；矩形；正方形；矩形和正方形的翻折（簡稱：一線三直角）；等邊三角形的翻折；座標系中的一線三直角包括已知相似比求點的座標或直角三角形的討論性問題

三：一線三等角構造圖譜：

四：中點型一線三等角

五：一線三等角——中間三角形為等腰三角形或直角三角形的討論性問題

(1)中間三角形為等腰三角形的討論問題

如圖，點P線上段MN上，∠M=∠N=∠EPF，聯結EF，若△EFP為等腰三角形

分析：

(2)中間三角形為直角三角形的討論問題

如圖，點P線上段MN上，∠M=∠N=∠EPF，聯結EF，若△EFP為直角三角形

分析：

教材試題

點評：在本題幾何計算的過程中，關鍵是推導△ABP與△PCD相似，對解題思路的分析，要重視利用圖形的直觀性，從線段CD聯絡到△PCD，再觀察與△PCD可能相似的三角形，發現並抓住解決問題的關鍵。

一線三等角---等腰三角形

（2010奉賢一模23）如圖，已知：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4， M是邊AB的中點，E、G分別是邊AC、BC上的一點，∠EMG=45°，AC與MG的延長線相交於點F，

（1）在不新增字母和線段的情況下寫出圖中一定相似的三角形，並證明其中的一對；

（2）聯結結EG，當 AE=3時，求EG的長。

分析：

一線三等角-----等腰梯形

（2001上海中考25）

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2。

（1）如圖，P為AD上的一點，滿足∠BPC=∠A。

①求證；

△ABP∽△DPC

②求AP的長。

（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC於點E，同時交直線DC於點Q，那麼

①當點Q線上段DC的延長線上時，設AP=x，CQ=y，求y關於x的函式解析式，並寫出函式的定義域；

②當CE=1時，寫出AP的長。

分析：

點評：

其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推斷與證明均可借鑑（1）的思路。

這是一種從模仿到創

造的過程，模仿即借鑑、套用，創造即靈活變化，

這是中學生學數學應具備的一種基本素質，世上的萬事萬物總有著千絲萬縷

的聯絡，也有著質的區別，模仿的關鍵是發現聯絡，創造的關鍵是發現區別，

並找到應付新問題的途徑。

一線三等角——-矩形

（2012長寧一模24）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點P是射線DA上的一個動點，將三角板的直角頂點重合於點P，三角板兩直角中的一邊始終經過點C，另一直角邊交射線BA於點E。

（1）判斷△EAP與△PDC一定相似嗎？

請證明你的結論；

（2）設PD=x，AE=y，求y與x的函式關係式，並寫出它的定義域；

（3）是否存在這樣的點P，使△EAP周長等於△PDC周長的2倍？

若存在，請求出PD的長度；

若不存在

請簡要說明理由。

分析：

一線三等角——-正方形

（2009·嘉定區一模25）（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P、Q分別在射線CB、AC上（點P不與點C、點B重合），且保持∠APQ=∠ABC。

①若點P線上段CB上（如圖），且BP=6，求線段CQ的長；

②若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函式關係式，並寫出函式的定義域；

（2）正方形ABCD的邊長為5（如圖），點P、Q分別在直線CB、DC上（點P不與點C、點B重合），且保持∠APQ=90度。當CQ=1時，寫出線段BP的長（不需要計算過程，請直接寫出結果）。

分析：

練習：

點評：

“一線三等角”在以正方形、矩形、等腰三角形、等腰梯形為背景的體現很明顯，希望可以透過這一題組加以理解，學會靈活運用，解決問題。

面對一個個數學問題，若能尋找並建立起它的基本模型，尋找出本質，複雜圖形只是在原有簡單圖形上“添磚加瓦”，層層遞進。

需要我們把握住這個問題的本質所在，深層挖掘題目所涉及基本思想。

一線三等角——-等邊三角形翻折

（2016崇明一模18）如圖，等邊△ABC中，D是BC邊上的一點，且BD：

DC=1：3，把△ABC摺疊，使點A落在BC邊上的點D處。那麼AM/AN的值

為

分析：

變式 以壓軸題形式展現

分析：

變式

轉換敘述條件

以垂直平分線代替翻折

（2015長寧一模25）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB=4，D是AC邊上一動點（不與A、C點重合），EF垂直平分BD，分別交AB、BC於點E、F，設CD=x，AE=y。

（1）求證：

△AED∽△CDF；

（2）求y關於x的函式解析式，並寫出定義域；

（3）過點D作DH⊥AB，垂足為點H，當EH=1時，求線段CD的長。

分析：

練習：

一線三等角——-中點型

（2012閔行二模25）已知：

如圖，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2。點P線上段AB上，聯結PD，過點D作PD的垂線，與BC相交於點C。設線段AP的長為x。

（1）……。。。。。

（2）……。。。。。

（3）當△APD∽△DPC時，求線段BC的長。

分析：

分析：

練習：

在長方形ABCD中，AB=4，AD=3，點E是邊AB上一點（不與點A、B重合），點F是邊BC上一點（不與點B、C重合），若△DEF和△BEF是相似三角形，則CF=

一線三等角——中間三角形

中間三角形為等腰三角形

分析：

練習：

中間三角形為直角三角形

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點，且BP=2，將一個大小與∠B相等的角的頂點放在P 點，然後將這個角繞P點轉動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點為D、E。

（1）求證△BPD∽△CEP

（2）是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？

若存在，求出BD的長；

若不存在，說明理由

一線三等角——座標系（1）座標系中三直角基本圖形主要還是以下兩種：

（2016·普陀區一模）已知A（3，2）是平面直角座標中的一點，點B是x軸負半軸上一動點，聯結AB，並以AB為邊在x軸上方作矩形ABCD，且滿足BC：AB=1：

2，設點C的橫座標是a，如果用含a的代數式表示D點的座標，那麼D點的座標是

分析：

分析：

練習：

一線三等角——座標系（2）

分析：

分析：

練習：

如圖，在平面直角座標系xOy中，二次函式的圖象經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），點D是點C關於原點的對稱點，聯結BD，點E是x軸上的一個動點，設點E的座標為（m，0），過點E作x軸的垂線l交拋物線於點P。

（1）求這個二次函式的解析式；

（2）當點E線上段OB上運動時，直線l交BD於點Q，當四邊形CDQP是平行四邊形時，求m的值；

（3）是否存在點P，使△BDP是不以BD為斜邊的直角三角形？

如果存在請直接寫出點P的座標；

如果不存在，請說明理由。

1、本文展示了相似模型“一線三等角”在初中範圍內常見的幾種考題形式，以上教版例題展開，拓展到模考題，中考題

2、從壓軸題中的複雜圖形提煉出基本圖形、快速靈活運用基本結論、反思、拓展。

透過知識間的串聯，形成解題時的必要“口訣”，找出一些通性通法，提高解題效率

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人間自由

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總結的系統全面

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11

還是要感謝原作者

李松濤

非常感謝你的梳理！