在一本由美國數學國家隊的教練 Andreescut 和 Feng Z 所著的書中提到了一道很有意思的尺規作圖問題

題目如下

讀者不妨在紙上按照尺規作圖的原則嘗試一下

本題中的目標正方形的邊長不知道，頂點位置不確定，中心位置也不容易確定，我們常見的尺規作圖一般有一個明確的切入點，比如作給定角的平分線，角的頂點位置固定，可以切入；若給定三角形的外接圓，雖然也不知道其圓心，但我們知道圓心應當是三條邊中垂線之交點，而三條邊的位置是固定的；哪怕是著名的作給定圓的內接正十七邊形，我們也知道其中心與圓心重合

針對以上分析，我們給出兩種作圖思路，第一種不需要切入點，第二種利用尺規作圖找到相當於正方形的邊長的線段

首先是第一種方法，下面影片中給出具體過程（約20M），也可以跳過直接看結論

05：21

第一種方法以QR為邊長，在三角形PQR外側作正方形QRLM，作直線ML，與直線PQ，PR分別交於N，O點，PM，PL與QR分別交於A，B兩點，線段AB即為目標正方形的一條邊，進而作出正方形ABCD（影片中是以AB為半徑，A和B分別為圓心畫圓，與PQ，PR分別交於D，C；也可以過A，B分別作QB的垂線，與PQ交於D，與PR交於C，兩種方式等價，都可以證明ABCD是正方形）

第一種方法巧妙的構造了兩組關於P點位似的圖形，將目標正方形轉化為與之位似的正方形QRLM，這個正方形的一條邊的位置已經給出，很容易作圖，再根據位似圖形中，對應點的連線共線於位似中心，確定了A和B的位置，Andreescut 和 Feng Z 所著的書中給出的是這種方法（當時是為了介紹位似圖形）

我們給出第二種方法，這種方法看上去不如第一種方法簡便，但確反應的尺規作圖的本質（尺規作圖可以求給定兩條線段的和，差，積，商），首先需要一些計算推導

我們雖然不知道 h 和 p 具體是多少，但是給定一個三角形時，表示 h 和 p 的線段確已經給出，我們只需要確定一條長度為 x 的線段，滿足

即可，下面給出作圖方法

這就剩下最後一個問題

證明如下

以上即為第二種作圖方法和證明過程， 敏銳的讀者可能會發現，構造KF的過程與物理中凸透鏡成像的作圖非常接近，事實上，這個過程就是已知物和像的位置（在凸透鏡兩側），求凸透鏡的位置的作圖方法，只是在物理中，我們往往已知凸透鏡的位置，根據上述過程，也不難推出，凸透鏡成像過程中，物距（u）的倒數 加上像距（v）的倒數等於焦距（f）的倒數 ，當然從邏輯上說，是先有這個關係，而後根據此關係設計的作圖方法