蕭簫 發自 凹非寺

量子位 | 公眾號 QbitAI

用AI求解偏微分方程，這段時間確實有點火。

但究竟什麼樣的AI求解效果最好，卻始終沒有一個統一的定論。

現在，終於有人為這個領域製作了一個名叫

PDEBench

的完整基準，論文登上了

NeurIPS 2022

。

PDEBench不僅能當成一個大型偏微分方程資料集，也能作為新AI求解偏微分方程的基準之一——

不少“老前輩”的預訓練模型程式碼都能在這裡找到，作為一個比對基礎。

例如去年大火了一陣的FNO，幾秒鐘求解出傳統方法需要計算18個小時的偏微分方程，程式碼就被放進了PDEBench中。

這個新基準一出，LeCun也激情轉發：這領域確實很火。

所以，AI求解偏微分方程的優勢是什麼，這一基準具體提出了哪些評估方法？

為啥用AI求解偏微分方程？

偏微分方程（PDE，Partial Differential Equation），是一個生活中常見的方程。

包括預報天氣、模擬飛機空氣動力、預測疾病傳播模型，都會用到這個方程。

目前

北大數學系“韋神”

韋東奕的研究方向之一，就是流體力學中的數學問題，其中就包括偏微分方程中的Navier-Stokes方程。

所以，為啥要

用AI來求解偏微分方程

？

訓練AI的本質，是找到一種儘可能逼近真實結果的模型。

用AI求解偏微分方程，其實也是找到一種

代理模型

，來模擬偏微分方程模型。

代理模型，指找到一種近似模型，在計算量更小的同時，確保計算結果與原來的偏微分方程儘可能相似。

這與

傳統的數值方法求解偏微分方程

有著異曲同工之妙。

傳統方法往往需要透過將連續問題離散化（類似在一個連續函式上切割出很多小點），來對方程進行近似求解。

然而，傳統的數值方法非常複雜，計算量也很大；採用AI方法訓練出來的模型，卻模擬得又快又好——

繼2017年華盛頓大學提出PDE-FIND後，2018年穀歌AI又提出了資料驅動求解偏微分方程的方法，都比傳統方法要快上不少，讓更多人開始關注到AI求解偏微分方程這一領域。

2019年，布朗大學應用數學團隊提出一種名叫

PINN

（物理激發的神經網路）的方法，徹底打開了AI在物理學領域的廣泛應用。

這篇論文在理論上雖然沒有PDE-FIND和谷歌AI的方法突破性強，卻給出了非常完整的程式碼體系，使得開發人員很容易上手，讓更多研究者開發出了不同的PINN，如今它也成為AI物理最常見的框架和詞彙之一。

△PINN

去年加州理工大學和普渡大學團隊發表的一項研究，更是將偏微分方程計算時間從傳統求解的18個小時降低為1秒鐘。

這篇論文提出了一種名為

FNO

（傅立葉神經運算元）的方法，基於傅立葉變換給神經網路加上“傅立葉層”，進一步節省了近似模擬運算元的計算量。

除此之外，也有不少研究人員透過訓練一些經典AI模型，來求解偏微分方程，如

U-Net

等。

不過，無論是FNO、U-Net還是PINN，都還是基於各自給出的基準來評估AI計算偏微分方程的效果。

有沒有一個更統一、更通用的框架來評估這個領域的新突破？

更全面的AI偏微分方程基準

在這樣的背景下，研究人員提出了一種名叫PDEBench的基準。

首先是基準中包含的

資料集

，目前這些資料集已經全部歸納到GitHub中：

這裡麵包括不少經典偏微分方程問題，如Navier-Stokes方程，達西流模型、淺水波模型等等。

隨後，PDEBench提出了幾個

指標

，來從不同角度更全面地對AI模型進行評估：

最後，PDEBench還包含了幾種經典模型的

預訓練模型

程式碼，並將它們作為評估其他模型的基準之一，包括上述提到的FNO、U-Net、PINN等。

例如研究團隊將這幾個模型分別基於各資料集進行了訓練，得出的均方根誤差（RMSE）如下，也說明它們在不同偏微分方程問題上的表現並不一樣：

除此之外，團隊還將資料格式進行了統一，同時針對PDEBench的可擴充套件性進行了最佳化，因此任何人都能參與進來，給這一基準加入更多的資料集、或是更多基準模型。

值得注意的是，團隊試了試分別在PyTorch和JAX兩種框架上執行幾種預訓練模型，發現JAX的速度大約是PyTorch的

6倍

。

看來以後搞相關研究可以試試JAX框架了。

作者介紹

作者們來自德國斯圖加特大學，歐洲NEC研發中心，還有澳大利亞聯邦科學與工業研究組織（CSIRO）旗下的Data61數字創新中心。

Makoto Takamoto，歐洲NEC研發中心高階研究員，畢業於京都大學，研究方向是影象處理、圖神經網路和科學機器學習。

Timothy Praditia，斯圖加特大學博士研究生，研究興趣是開發基於資料驅動和先驗物理知識的神經網路模型。