數學分割法是什麼

刻有數字的殷墟甲骨

撰文 | 劉 鈍（清華大學科學史系/中國科學院自然科學史研究所）

責編 | 葉水送

近來，國內有專家撰文倡導書寫阿拉伯數字時採用“4位數分隔法”

（國際上通行的為3位數分割法）

，文章由中科院院士領銜署名，發表在權威的國家科研機構發行的內部刊物上，又被一些知名的博主和公眾號轉載推介，具有一定的影響。

但筆者以為不宜推行這種方法，主要有兩方面理由：

首先是沒有歷史依據。

文章稱中文表達大數每四位升一級，是“祖先的智慧結晶”，今日推行可以“讓人們進一步認識到漢字的博大精深，領會到古人在漢語數字設計中的智慧”，這是不符合事實的。

如同其他古代早期文明一樣，中國人對大數的認識是逐步發展的，甲骨文中最大的數詞是“萬”，雖然出現了“兆”、“京”等字，但不作數詞。先秦文獻中“億”“兆”並見，但都表示“很多”而無固定的對應量級

（後世儒生的註疏別論）

。

南北朝董泉所撰《三等數》，應是系統介紹大數記法的書，可惜早已亡佚。從唐代學官把它與北周甄鸞《數術記遺》並列為輔助讀物來看，其內容恐與《數術記遺》有相似之處，而後書中介紹的三等數，正是萬以上的大數記法，原文為：

“黃帝為法，數有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者，謂上、中、下也。其下數者，十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之，若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也。上數者，數窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終於大衍。下數淺短，計事則不盡。上數宏廓，世不可用。故其傳業，惟以中數耳。”

公元400年前後成書的《孫子算經》“大數之法”一節從億到載都從萬萬進，相當於上述中等記數法；而“量之所起”一節從億到載都從十進，相當於上述下等記數法。敦煌文獻中有兩種唐代算經也涉及大數記法：其中編號為P。3349、S。0019和S。5779的三種寫經實為同一部書，介紹的是中等記數法，不同的是“載”後還有一個單位“極”

（萬萬載曰極）

；編號為S。0930的一種介紹的是下等記數法。

唐代所譯佛經中又出現了許多印度數名

（數詞）

，例如實叉難陀所譯《大方廣佛華嚴經》在“萬”後面就提到124個數名，第一個“洛叉”等於10萬，第二個“俱胝”等於1000萬，從“俱胝”開始皆按“數窮則變”的上等記數法進位，如“俱胝”個“俱胝”等於1個“阿庾多”

（100萬億）

。佛經所譯數名大多佶屈聱牙，其中有些也被中國採用。明代《演算法統宗》在“載”之後，就還有“極”“恆河沙”“阿僧祗”“那由他”“不可思議”“無量數”等大數單位，大多來自佛經。

以上所述三等記數法中，下等無需分隔，上等無法

（等距）

分隔，唯有“故其傳業”的中等數以萬萬進位；如果要以逗號來分隔而又符合中國古代傳統，那就得采用“8位分隔法”而不是“4位分隔法”。

數學史上確實有採用四位升級

（萬進）

大數記法的，但不是在中國而是在日本，時間則相當晚近，影響也甚為有限。

吉田光由《新編塵劫記》

1627年，和算家吉田光由在以《演算法統宗》為藍本編寫的《塵劫記》中，介紹了中國算書中的大數記法，“萬”至“極”皆以十進，“極”以上相鄰兩個單位皆為萬進；1634年《新編塵劫記》

（四卷小型本）

中則統一改成萬進。不過江戶時代的和算家並沒有普遍接受吉田光由的意見，特別是那些被稱為“中國流”的和算家建部賢弘、會田安明等人，仍然使用萬萬進位的大數記法。

（藤原松三郎《日本數學史要》）

今日日本、韓國、新加坡、中國臺灣等漢字文化圈地區在某些特定領域使用萬進的“兆”“京”等單位，應該說是《新編塵劫記》的遺孽；如果說採用“4位數分隔法”體現對傳統的繼承，那麼繼承的是17世紀和算家吉田光由開創的傳統。

第二個反對的理由是會造成混亂。

文章稱“按英文閱讀習慣讀數較快得益於每3位阿拉伯數字用逗號分隔的表達形式”，引入4位分隔法“對中國人和外國人用中文識讀數字都更容易”；又說為了避免兩種分隔法混淆，可以把分隔號置於阿拉伯數字的右上角，

“這樣的新舊錶達方式的區別特徵更明顯，互不干擾，便於中、英兩種分隔法在國內同時出現。”以上第一句話沒錯，後面的意見則不敢苟同。

實際上，不只是英文，歐洲其他主要語言中都有“千”、“百萬”、“十億”、“萬億”等千進位的數詞專名，現在通行的“3位數分隔法”，正是西方人為了辨識和誦讀大數而創造出來的一種輔助手段，既行之有效又被廣泛接受使用。如今另搞一套，不但缺乏依據，也易造成混亂，實在是得不償失。

此外，許多物理單位也是根據千進原則劃分量級的，如重量單位的納克

（ng）

、微克

（μg）

、毫克

（mg）

、克

（g）

、千克

（kg）

、噸

（t）

，長度單位的奈米

（nm）

、微米

（μm）

、毫米

（mm）

、米

（m）

、千米

（km）

等。計算機資訊科技中用於表達儲存容量的計量單位則按準千進原則劃分，其基本位元組（Byte）是一個8位元組，向上依次就有KB

（1024 Byte）

、MB

（1024 KB）

、GB

（1024 MB）

、TB

（1024 GB）

、PB

（1024 TB）

、EB

（1024 PB）

、ZB

（1024 EB）

、YB

（1024 ZB）

等。

為了表達很大

（或很小）

的數目，近世則普遍採用以指數來顯示量級的科學記數法，如阿伏伽德羅常數6。02214×10^23，表示1摩爾物質所含的分子

（或原子）

數目是一個24位的數字。上述儲存容量單位YB相當於1024的8次方個位元組，用科學計數法表達約為1。2089×10^24 Byte。阿基米德在《數沙者》中設想的一個有限球體宇宙中所能容納的沙子總數大約為1×10^63粒。應用科學記數法既不需要大

（小）

數專名，也無須藉助分隔數位來判斷量級。

總之，“4位數分隔法”與我們祖先的智慧無關，也談不上與國際接軌，應用起來只能徒生混亂，還是不要提倡為好。

附：

傳承祖先的智慧，倡導中文中阿拉伯數字書寫方式採用“4位數分隔法”

成會明、田果成、戴宏（中國科學院金屬研究所）

我們發現在閱讀中存在這樣一個現象：在面對一串較長的阿拉伯數字時，要讀出這個數字，按中文的書寫方式來讀，我們的反應似乎比用英語等語種的書寫方式要慢一些。

比如，對數字1，234，567，890，按英文閱讀習慣透過識別“3位數分隔”，一下就能看出這個數的最高位是“十億”

（billion）

。而按照中文的閱讀習慣，通常就得按“個、十、百、千、萬……”從右往左數下去，才能數出這個數的最高位是“十億”。

按英文閱讀習慣讀數較快得益於每3位阿拉伯數字用逗號分隔的表達形式。“3位數分隔法”與其語言的發明有內在的邏輯關係，在英語中每3位數的升級單位是千

（thousand）

、百萬

（million）

、十億

（billion）

、兆

（trillion）

等。這種表達形式能讓使用英文的 人無需從低位向高位數位，就能快速看出這個數字的最高位是多大的數，從而直接從最高位開始把這個數讀出來。

但按中文閱讀習慣則很難做到——從小我們學到的讀數方法是：先從右至左，從最低位往上數位，然後再讀出這個數。我們的讀數方法讓人感覺有些“難”的原因主要在於數字間缺少按照“萬”為單位的分隔符。

其實，我們祖先的智慧同樣高明，在創造大數字表達時也是有節奏的。在數字表達上英文是每3位數升一個級，中文是每4位數升一個級。我們祖先創造出表達數字的漢字是“個、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億、十億、百億、千億、兆、十兆、百兆、千兆、京、十京、百京、千京、垓、十垓、百垓……”

其實，這裡面本身就存在一種分隔法，即“4位數分隔法”或“萬位分隔法”。遺憾的是，在近代我國引進阿拉伯數字時，沒有重視英文等語種中“3位數分隔法”與中文表達的錯位現象，忽略了我們祖先的智慧，對祖先的智慧結晶沒有很好地加以利用併發揚光大。

例如，數字1234567890，按英文中阿拉伯數字書寫方式為1，234，567，890，參照表1 我們能一目瞭然地看出最高位是“1billion”，並可立即讀出：“1 billion 234 million 567 thousand

（and）

890”；而按中文閱讀習慣，面對這一較長的數字，通常我們很難立即判斷出最高位。

表1 部分數字中、英文對照表

目前，中文中還沒有像英文這樣便於一眼看出位數的阿拉伯數字書寫方式，而是借用英文中阿拉伯數字的表達方式。顯然，把一個3位數升級1個單位的表示式轉換成漢語時，理解上需要一個轉換過程，不能把英文的“3位數分隔法”表示的數字直接轉換成中文數字的表達。

因此，筆者建議，借鑑古人在中文表達中數字的4位升級表達方式，明確中文中阿拉伯數字的書寫方式採用“4位數分隔法”或“ 萬位分隔法”

（ 圖1）

。例如， 把數字1234567890 表達為12，3456，7890，我們就能一目瞭然地看出最高位是“10億”，可以立即讀出：12億3456萬7890。

圖1 中文“4位數分隔法”或“萬位分隔法”中部分數字每4位對應的單位

透過數字分隔的表達方式，閱讀一個數字只需知道英文等語種中的3位數或中文中的4位數的數字單位如何讀或寫和相關單位的名稱即可。例如，英文裡數字寫成987，654，321，很容易讀為987 million 654 thousand

（and）

321；中文裡寫成9，8765，4321，很容易讀為9億8765萬4321。

中文中數字的“4位數分隔法”與國際化接軌也比較便捷，因為“3位數分隔”與“4位數分隔”很容易識別。

……（中間略去三段文字，原文內容見連結：

成會明院士：傳承祖先的智慧，倡導中文中阿拉伯數字書寫方式採用“4位數分隔法”

）

按“4位數分隔法”改變中文中阿拉伯數字書寫方式具有以下現實意義：

能夠豐富和完善漢字的表達形式；

易懂，易記；

讓人們對數字大小一目瞭然，提高閱讀速度；

讓人們進一步認識到漢字的博大精深，領會到古人在漢語數字設計中的智慧；

教會兒童便捷的識數方法，提高他們對數字的認知和感覺；

與國際化接軌，推廣這種表達方式，既能促進中國人對“3位數分隔法”的理解，又能讓學中文的外國人更快地掌握中文的數字表達。

注：原載中國科學院學部工作局編輯發行的《學部通訊》2021年第1期。