像空間有非零元素一定是單射嗎

說明：此文稿為朱浩楠老師於2018年11月-12月北京地區聯校數學建模活動的課題研究階段中，每天一篇釋出給各課題組的研究方法指導檔案的彙總。為方便更多的同學參考使用，現調整為正序後透過遇見數學微信公眾號釋出，版權歸朱老師和遇見數學公眾號所有。

▌研究方法指導：從高中數學體會數學概貌和數學建模

新課標中將數學建模引為數學學科六大核心素養之一，並作為線索貫穿必修、選擇性必修和選修各類課程之中，是為了透過數學建模的學習令大家對數學學科以及數學學科在其他學科和領域內的應用，有一個概觀的、基本的、科學的認識。今天，我們就結合之前的課題研究方法指導的內容，將高中數學的各個板塊及其在數學建模過程中的作用聯絡起來，以饗學子。

到了高中，大家最先學習集合，集合是什麼呢？集合是一種數學語言，將具有某些共同特徵的事物放在一起作為一個大類別。集合為什麼那麼重要呢？因為在集合出現之前，人們只能大概地講“把這些東西放在一起”，這不嚴謹，因為放多放少，包不包含，都說不清。有了集合之後，就有了一個客觀存在的研究物件。集合公理要求一個元素要麼屬於這個集合，要麼不屬於，不會有模凌兩可。有的同學可能聽說過集合的理髮師悖論，那個和集合沒關係，相關的數學概念叫“類”，類是比集合更為抽象和廣大的概念。

所以集合可以看作是研究事物的語言和邏輯準備——如果所研究的東西不是邏輯嚴謹且客觀存在，那麼接下來的一切演繹都沒有價值，因為從邏輯上“空集可以推匯出一切真的或假的事物”（用反證法即可證明）。

有了集合，也就是研究物件，那麼就需要在它們之間建立一些關聯和操作，這就和人與人、人與自然之間的互動是一樣的，在互動中才能感受對方的存在，也才能激發出對各自性質的感受。例如：我們想用眼睛看到一個物體，就需要光線被物體反射傳入視網膜。但是也要避免一些“非正常互動”，例如：我們看一個物體，可能很多物體外貌都長一個樣子，比如生雞蛋和煮雞蛋，但是一個雞蛋不可能既是生雞蛋，也是煮雞蛋。

集合間的合理的關聯與互動就叫做對映，我們規定不能一對多，就是怕出現玄學。

對映中有兩個非常重要的概念，一個是“單射”，一個是“滿射”，單射指的就是兩樣東西不能映為一樣東西，滿射指的是目標集合中的每樣東西都是對映的像。數學家理解這兩個概念力求直觀，實際上，單射就是“不粘連”的對映，滿射就是“不撕裂”的對映。如果兩個集合之間存在著既不粘連也不撕裂的對映，那麼這兩個集合（作為集合）就視為等價的了，因為其中的元素可以一一對應，所以既單且滿的對映也被稱為雙射，或1-1對映。著名的例子就是有理數集和正整數集之間存在1-1對映。

對比了四種不同的情況（圖自維基）

但是我們顯然知道，有理數集和正整數集不一樣，所以兩個存在1-1對映的集合還不見得是一個東西。但是注意，僅僅從集合的角度是沒法區分它們了，我們所謂的“有理數集和正整數集看起來就不同”，其實是因為我們考慮了有理數集和正整數集之中的“運算”，最基本的就是加減乘除。所以運算這件事的提出其實幫助我們可以更細緻地分析事物，而不僅僅限於是否1-1對應這個層次。

運算其實也是一種對映，例如我們常說的整數的加法運算，就是從整數集與整數集的笛卡爾積，到整數集的一個對映。這裡就出現了一個概念——笛卡爾積。平面歐式空間就是滿足歐式距離公理的兩個實數集之間的笛卡爾積。從這個層面可以理解笛卡爾作為一個偉大的哲學家對數學作出的貢獻——千萬不要以為笛卡爾的貢獻僅僅是想出了平面直角座標系，在笛卡爾的天平中，萬物之間得以藉由他創造的精妙結構和對映這一利器去構造運算。這是現代代數學的雛形。

我們最常見的函式，指的是數集到數集的對映。高中考試中常考有解析式的函式，但是我們需要知道絕大多數函式沒有解析式，只有對應關係。有解析式的函數里，有幾個函式最為基本，那就是冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式、常值函式。這五種函式被稱為“基本初等函式”。所謂的能寫出解析式的函式，其實就是整體或分段地表示為基本初等函式的拉伸、平移、翻折及基本函式間的加、減、乘、除、複合。這樣來看，基本初等函式就是函式大廈中的磚塊，而“拉伸、平移、翻折、加、減、乘、除、複合”就是磚塊間的粘合劑，他們一同構築起了龐大的摩天大樓。

有一些函式沒法像上面這樣被基本初等函式透過“拉伸、平移、翻折、加、減、乘、除、複合”表示，卻可以透過基本初等函式的“極限”來表示。所以“極限”就成了有別於通常的初等運算體系下的“高等”運算。涉及到極限的數學都稱為“高等數學”。極限作為理念出現得很早，大概從人類開始能夠想象未來的時候開始就有了。但是極限概念真正嚴格起來作為一個邏輯嚴謹的系統，則是在尤拉和威爾斯特拉斯等數學家的努力之後。他們用驚人的洞察力和語言天賦，造就了一套簡潔、優雅、準確的符號體系，將對無限的觀察蘊含在了對有限的考察中，被人們津津樂道。

函式有影象——這也是笛卡爾的功勞，人們得以將自變數和因變數放在兩個集合的笛卡爾積中去觀察和體會——觀察函式影象，無論是計算機還是人類，理論上都無法連續地觀察到每個點，只能觀察到其上的若干離散的點——用筆在紙面上畫一條看上去很光滑的線，用顯微鏡放大，到了一定精度之後墨跡還是會開始呈現斷斷續續——所以人類的計算系統對於連續的函式的觀察是透過在上面擷取若干的數值來完成的，這也就是數列了。遠古時代人們就開始用數列記錄曆法，其實就是對連續的時間變化的一種離散觀察。

但是這一離散可了不得，給數列帶來了非常獨特的方法——遞推。函式也可以實現遞推，不過一般會更復雜，涉及到向量場和不動點理論。數列的遞推則簡單很多，所以放在高中課程中來講。不過現在數列遞推基本刪掉了，北京高考考得很少，這多少是個遺憾——從大數學家龐加萊的觀點來看，離散和連續密不可分，透過離散來觀察連續是一項重要的技巧，甚至不遜色於用有限來觀察無限的極限語言。

有了函式，如果它光滑的話，我們就能在上面得到很多切線方向，這些切線方向帶有大小，大小用來衡量此處函式的因變數隨自變數變化的速率，而方向反映函式影象的走勢方向。像這樣既有大小又有方向的量就是向量。向量將長度和角度放在同一個範疇裡去度量，是個偉大的創造。

光滑函式影象每點有切向量，計算的方法被稱為微分；已知切向量能否將函式還原呢？回答是“部分可以”，但是因為向量具有平移不變數，所以想要還原函式還得加上一個條件——給出函式影象上一點。由已知切向量還原函式的過程被稱為不定積分，再給出一個初始值以進一步確定唯一函式的過程被稱為定積分。著名的牛頓-萊布尼茨公式透過變上限積分給出了二者的聯絡。

微積分基本定理（圖自維基）

如果你稍微知道更多一點微積分，你大概就知道：任何光滑函式區域性上都與某個多項式函式非常接近。多項式函式是人們最為喜聞樂見的函式，因為它很容易求導，而且它的零點是多項式方程的解。多項式方程在幾個世紀以來一直是數學研究的熱點，留下了大量的工具、結論和技巧。區域性上將函式變為多項式，使得這些歷史寶藏得以使用。

所以研究多項式函式就是非常重要的，高中主要涉及最高次不超過3次的一元多項式函式，與結構最為優美的3類二元二次多項式函式。二元二次多項式函式（非退化，即，不可約）的零點是平面上的一條曲線，被稱為圓錐曲線，也就是橢圓、雙曲線、拋物線。希望你能因此而理解為什麼它們都是高考考查的重點——因為它們真的在數學上異常重要。

1。拋物線2。圓和橢圓3。雙曲線

從上面的觀點來看，解析幾何就是區域性上多項式化了的一般幾何，這也是現代代數幾何學的雛形——區域性上是多項式的零點，透過拓撲方法貼上起來，就是一般的幾何體。

一般幾何體的另一種區域性粘成整體的方式，是用三角形網格來剖分幾何體。將光滑的幾何體變成了類似於“多面體”的幾何體，這在工業中很常用，最大的優勢是可以使用網格相關的很多技巧，例如著名的“尤拉公式”，並且如此離散化之後容易利用計算機來計算。既然是三角剖分，那麼每個小的面就都是三角形。這樣一來，解三角形就不僅僅是對古希臘平面幾何公理數學的繼承了，而且還是現代工業技術的基石之一。

至於機率統計和立體幾何，其重要性不言而喻，但這裡還是要就大家可能不是非常瞭解的方面多說幾句。

從前面的梳理可以看到，高中數學的一種理解方式是幾何化的，這也是數學上的一種主流觀察方式。之所以採用這種觀察方式，我理解是因為幾何化方便人們直觀想象，更容易發現問題的走向而非陷入到瑣碎的區域性代數運算中去。

在工業中，乃至在理論物理或其他很多基礎學科領域中，大家都喜歡從幾何上觀察，例如廣義相對論就是依託黎曼幾何企圖將全宇宙的規律歸結到某種幾何規則中，關於這方面的科普著作很多，推薦大家拜讀丘成桐先生的科普鉅著《大宇之形》。

但是一旦我們要檢驗自然界的現象是否符合數學上的幾何模型，例如雪花的形狀是否是對稱的，我們必然需要觀測資料，但是自然觀測得到的資料帶有系統誤差、自然環境的隨機干擾等隨機擾動，所以不可能恰好符合數學模型。那麼就要分析一下：到底多大機率偏離數學模型多少？如果偏離很大到底是大機率事件還是小機率事件？這決定了你的模型是否可以經得起實踐的檢驗。而分析的方法，就是機率統計。

經過上個世紀統計學領袖C。R。Rao先生的努力，現代機率統計越來越幾何化了，甚至很多問題從數學上看就是純粹的幾何問題。對於高中的機率統計來說，其實和平面幾何與立體幾何密切相關。甚至一些難一點的線性規劃問題，也可以透過升維降維的技巧轉化為某些經典的立體幾何問題。所以立體幾何對於建立初等機率統計的幾何直觀非常重要，雖然現在一般課堂上不這樣講，但是至少知識框架還是被儲存下來。這還沒考慮到立體幾何的公理化推導對學生思維品質訓練上的好處。

最後，希望各位同學透過今天的小文，對高中數學有一個比較有溫度的整體認識，並且從情感上接受“高中數學很有用”到底事實，進而在接下來的學習中更加自主和出色。

［遇見數學］ 李想： 朱浩楠老師將此係列獻給正在鏖戰MCM（美賽）與即將參加 IMMC（中華國際數學建模挑戰賽）的各位學子， 祝各位競賽中取得優異成績。 這裡 ［遇見］ 也要感謝朱浩楠老師用知識和經驗為學子們提升建模能力、數學素養及更廣的學習視野保駕護航。

另外由於時間緊迫， 整個系列要改進的地方還有很多， 未來 ［遇見］ 會再次整理編排釋出， 敬請關注。