中國數學在沈括之後，於南宋和元朝時期達到了繁榮的頂點，湧現了一大批卓有成就的數學家。其中以秦九韶、李冶、和朱世傑四人成就最為突出，被譽為“宋元數學四大家”。今天要講的是他們中的第一個，南宋著名數學家秦九韶。

秦九韶

秦九韶大約於13世紀初出生在普州安嶽（現在的四川安嶽），祖籍是魯郡（現在的山東滋陽、曲阜一帶），他的父親叫秦季槱（you三聲），曾經擔任巴州太守的官職。秦九韶大約在1202年（也有說1208年的）出生在他父親的任職地安嶽。到1219年，漢中軍士發生兵變攻入四川，秦季槱帶領家屬來到臨安，秦九韶也跟著來到了京城。史書上說秦九韶18歲的時候，在鄉里糾集義兵，成為了義兵的領導人，後來才跟隨父親去了臨安，這麼看來，秦九韶應該是出生在1202年，而不是1208年。秦九韶到了臨安之後，由於他父親的緣故，他有機會閱讀大量典籍，並拜訪天文曆法和建築等方面的專家，請教天文曆法和土木工程問題，甚至可以深入工地，瞭解施工情況．他又曾向“隱君子”陳元靚學習數學。透過一段時間的學習，秦九韶成為了一個博學多才的青年學者，史書上說他“性極機巧，星象、音律、算術，以至營造等事，無不精究，……遊戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知”。1225年，秦九韶跟隨父親又去了四川，後來到了1244年，秦九韶在建康府當官，到1247年寫成《數書九章》十八卷。1261年在梅州去世。

數書九章

《數書九章》一共收入了81個問題，分成了9類，分別是大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢穀類、營建類、軍旅類、市物類。在這9類中，最著名的要算是大衍求一術和高次數字方程解法。

所謂的“大衍求一術”實際上就是一次同餘式組解法。大衍問題源於《孫子算經》中的“物不知數”問題：“今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”這是屬於現代數論中求解一次同餘式方程組問題。秦九韶在《數書九章》中對此類問題的解法作了系統的論述，並稱之為大衍總數術。用現代數學語言描述“大衍類”問題，就是求一個正整數N，使N被A1除餘R1，被A2除餘R2，……被An除餘Rn，其實就是求解一次同餘式組N≡Ri（mod Ai）（i=1，2，……n）。在《數書九章·大衍類》中，秦九韶對“大衍總數術”首先給出由問數求定數的演算法，然後再用“大衍求一術”來求乘率，得到乘率後再透過求出衍母、各個衍數、用數，最後再求出總數和所求率數，即求出所給的同餘式組的解。秦九韶的“大衍求一術”要比高斯建立的同餘理論早了500多年，被西方稱為“中國剩餘定理”。

所謂的“高次數字方程解法”是秦九韶在總結前人的開方法的基礎上，將其用到任意次方程的有理或者無理根的求解上去的方法，它的名稱叫“開玲瓏三乘方”。在《數書九章》中，秦九韶用一個例題說明了這個方法，即“環田三積”問題，用現代的代數式表示即為：

他先用試除法確定根大約在20左右，然後作代換：x=20+x1，得到輔助方程

由於這裡的x1是一個在0到1之間的數，可以略去高次項，就變成了577800x1-324506。25=0，但是秦九韶用了另外一個方法，將所有的高次項都變成一次項，方程就變成了

這樣就可以得到解

於是x=20+x1=20。5494853，與實際的誤差為0。005319，比前一種方法的誤差要小。在《數書九章》中，秦九韶還提到了一個10次方程的例題，然後將其解出，秦九韶解方程的方法對於任意次方程都是適用的。在西方，英國人霍納也發明了同樣的解法，但是是在秦九韶之後500多年。此外，秦九韶還改進了一次方程組的解法，用互乘對減法消元，與現今的加減消元法完全一致。同時秦九韶又給出了籌算的草式，可使它擴充到一般線性方程中的解法。

另外，秦九韶還創用了“三斜求積術”等，給出了已知三角形三邊求三角形面積公式，與海倫公式是完全等價的。

海倫公式

《數書九章》繼承和發展了《九章算術》精神，概括了宋元時期我國傳統數學的主要成就，是我國古代數學發展高峰的標誌。秦九韶首創的大衍求一術和正負開方術曾長期影響著我國數學的研究方向，秦九韶的數學成就也代表了中世紀世界數學發展的主流和最高水平，在世界數學史上佔有崇高的地位。它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最先進的應用數學，它的出現標誌中國古代數學形成了完整的體系。