地球吸引力怎麼來的

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導讀

展示物理學分析問題的方法，從蘋果到牛頓、開普勒、卡文迪許和愛因斯坦……物理學整個學科的創立從牛頓1687年的名著《自然哲學的數學原理》開始。哲學中自由的思辨在科學裡成為大膽的假設，運用數學和邏輯進行嚴格的推理。更重要的是必須用實驗和觀測結果做最終檢驗真理的標準。物理學就是哲學、數學與實驗相結合後產生的科學。

1687年，如日中天的康熙皇帝，獨自在後宮跟傳教士學幾何，玩自鳴鐘。但遙遠的西方產生了面向大眾的科學，一個多世紀後就改變中國的國運。

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和正在學物理的朋友談物理方法

即便你不是物理專業的，你應該也聽說過這個故事：牛頓在蘋果園中看見蘋果掉在地上（也有說被蘋果砸中頭的），悟出了萬有引力定律。這個故事是否可信？從科學的角度我們可以問，一位訓練有素的物理學家，能否在當時的條件下，從蘋果的落地推匯出萬有引力定律？答案是肯定的。

準備知識

要想再現牛頓在蘋果園中的思考，我們首先要清楚在那個著名的蘋果落地之前，牛頓已經知道什麼。牛頓當時掌握的知識，大部分都已經被今天的高中生學到了。

首先是牛頓的力學三定律：

第一定律：如果不受力，物體保持勻速直線運動

第二定律：如果受力，物體的質量乘以加速度等於受力，F = ma

第三定律：兩個物體之間的作用力和反作用力大小相等方向相反

太陽系的結構：經過天文學家的長期努力，破除了宗教迷信，人們已經知道地球和行星都圍繞著太陽轉。不僅如此，天文學家還對地球和幾顆主要行星的軌道進行了精密的觀測。這些軌道的資料，對發現萬有引力定律起到了決定性的作用。

此外，牛頓掌握的數學工具，比今天的高中生多一些。牛頓發明了微積分，微積分在發現萬有引力的過程中，也提供了幫助。

對於物體的下落和重力，物理學早已研究得很清楚了。早期的人類，天真地認為重的物體比輕的物體下落快。也有聰明人意識到這肯定不對，他是這樣推導的：

把一個重的物體和一個輕的物體綁在一起，會形成一個更重的物體。如果重物比輕物下落快，那這個更重的物體一定下落更快。另一方面，輕物和重物綁在一起下落，它本來的下落速度慢，一定會向後拖累重物的下落，所以這個複合物體下落的速度一定會比重物要慢。這就自相矛盾了，倒是重物和輕物下落一樣快可以自圓其說。

這套推理暗含的假設是物體的下落源於內因（比如它的質量），如果有其他外力干預（比如空氣阻力），這個推理就不成立了。今天我們知道，蘋果之所以比樹葉下落快，不是因為蘋果更重，而是因為樹葉的形狀，讓它受到的空氣阻力比重力大得多。

後來伽利略在比薩斜塔上展示了重球和輕球同時落地。物理學最終是要靠實驗檢驗的，但這個例子表明，推理的力量也很強大。

今天初中生在物理課中都會學到：如果不計空氣阻力，所有物體的下落過程都是勻加速運動，所有物體的加速度都是g。用牛頓的第二定律，我們知道物體都受到了一個重力，和它的質量成正比：F = mg。

從蘋果的下落追尋重力的起源

看到那個蘋果落到地上，牛頓首次開始思考重力的起源。古人覺得物體向下落天經地義，但當時牛頓已經知道大地是個球，地球是懸浮在宇宙中的。宇宙中並沒有一個叫做“下”的方向，地球好像也沒有向哪個方向落下去。英國和中國的蘋果都會落到地上，但兩地蘋果的下落角度差得很大。重力，更像是地球對所有物體的吸引。

但到底是什麼因素造成了地球對物體的吸引力？重力正比於質量，也就是說有質量的物體都會被吸引，似乎是物體的質量產生了吸引力。但為什麼這個吸引力只在地球和物體之間，為什麼兩個蘋果之間沒有吸引力？

把這個問題暫時放一放。我們應用一下牛頓第三定律。如果地球吸引蘋果造成了重力，那麼這個重力會有一個反作用力，就是蘋果對地球的吸引力。地球對蘋果的吸引力正比於蘋果的質量，蘋果對地球的吸引力一定正比於地球的質量。但作用力和反作用力大小相等，唯一的可能性就是蘋果和地球之間的吸引力正比於蘋果質量乘以地球質量。

這樣一來，之前的問題有答案了：如果兩個物體之間的吸引力正比於二者質量的乘積，那麼地球對蘋果的引力正比於地球質量乘以蘋果質量，兩個蘋果之間的吸引力正比於兩個蘋果質量的乘積。前者是蘋果的重量，後者一定比蘋果的重量小很多很多。所以，很可能兩個蘋果之間是有吸引力的，只不過它太小，我們觀察不到。

如果地球因為有巨大的質量產生引力，那麼地球和太陽，和其他行星之間是否也會有引力？

地球在繞太陽旋轉，但還沒有人想過為什麼，天上的事情自然是上帝安排的。很可能，牛頓在蘋果園裡，從地面想到了天上。地球繞太陽公轉的軌道是一個近似的圓形，地球在環繞太陽做勻速圓周運動。

做勻速圓周運動的物體，是有一個加速度的。雖然速度的大小不變，但方向不斷改變，隨時都在拐彎。這個加速度的方向指向圓心，大小由下面這個公式給出。

轉動加速度公式

這個結果，用牛頓的微分很容易證明。今天高中的物理老師也會把這個結果教給學生。

如果我們可以把牛頓第二定律用到整個地球上，那麼地球一定是受到了一個指向軌道圓心的力，那正是太陽的方向！地球繞太陽的公轉，完全可以用太陽的吸引力解釋。因為地球有速度，才不會像蘋果那樣掉下去。看來，很可能天上的、地上的物體，都滿足同樣的力學定律，都有同樣的引力規律！

但為什麼是地球繞著太陽轉而不是太陽繞地球？為什麼所有的行星都繞太陽轉？這一定和地球上的所有蘋果都落到地面的原因一樣：太陽的質量一定比所有的行星都大很多，因此太陽對每一顆行星的引力，比它們之間的引力大很多。

引力和距離的關係

兩個物體之間的引力大小，應該和距離有關，距離越遠引力越小，這才合理。否則，太陽比地球的質量大很多，我們和蘋果都會被吸到太陽上面去。但引力和距離是什麼樣的關係呢？

自然界最基本的規律，往往都是簡單的。比如牛頓第二定律，再簡單不過了。我們不妨猜猜，是跟距離成反比？還是跟距離的平方成反比？

等等，蘋果和地球之間距離怎麼算？實際上，萬有引力定律，和牛頓三定律一樣，都是針對質點的。質點是抽象出來的簡單物體，有質量，沒有尺寸和形狀結構。地球和蘋果之間的引力，需要把地球分割成無數的質點，分別計算蘋果和這些質點之間的引力，再求和。這個計算，需要用到牛頓發明的積分。

地球對蘋果的引力

如果引力和距離的平方成反比，積分的結果特別簡單：地球對蘋果的引力，相當於把地球的質量都集中到地心那個點上。在引力的公式中，用蘋果到地心的距離（就是地球半徑）代入就可以了。如果引力不是和距離平方成反比，就沒有這麼簡單漂亮的結果。蘋果樹下的牛頓也許還不知道這些，但他回到書房後，一定可以推匯出這個結果，今天數學基礎好的大學生，都可以獨立地完成這個證明。

如果地面的事情太複雜一時算不清楚，不妨去想想天上的東西。在太陽系內，星體的半徑比它們之間的距離小很多，諾大的地球和太陽，反而可以被近似地當作質點。各大行星繞著太陽轉動，半徑有大有小，它們會給出引力與距離關係的資訊。

早在半個多世紀前，德國天文學家開普勒，就對各大行星的軌道進行了精密的觀測和計算，總結出了三個定律。其中第三定律特別簡單：行星的軌道半徑越大，公轉週期就越長，半徑的立方和週期的平方成正比。如果引力的距離平方成反比，就可以解釋開普勒第三定律。這個推導非常簡單，今天一個物理和數學基礎好學生，也可以閉著眼睛在蘋果樹下完成這個證明。需要用到上面那個轉動加速度公式。

開普勒第三定律的推導

最後一行的公式右側，是一個只和太陽質量有關，對地球和所有行星都一樣的常數，這就證明了開普勒第三定律。至此，從當時已知的科學知識出發，我們透過天馬行空的思考，和嚴謹踏實的推理，發現了萬有引力定律。整個推導過程並沒有用到複雜的數學，牛頓完全可能在蘋果園裡完成它。

牛頓的萬有引力定律

回到書房，牛頓還做了更多的工作。開普勒還有另外兩條定律：第一定律：地球和行星的軌道是橢圓形的（很接近正圓的橢圓形），太陽位於橢圓的一個焦點上。第二定律：行星和太陽的連線，單位時間內掃過的面積是一樣的（也就是說，行星離太陽近的時候，速度會快些）。

牛頓用他的力學第二定律，萬有引力定律，以及微積分數學工具，證明了這兩條定律。這下實錘了，我們不僅定性地，而且定量地證明了宇宙中的天體，是按照和地面物體一樣的牛頓力學定律和萬有引力定律執行的。

後記

這還不算完，萬有引力定律預言了一個新的物理現象，就是兩個蘋果之間，任何兩個物體之間，也有一個很小的吸引力。這個現象必須得到實驗證實，這條定律才會被徹底接受。但這個力太小了，測量它是需要很高的技術。在牛頓發表萬有引力定律的111年後，終於由卡文迪許完成了這個實驗，他用了兩個大鉛球，測量了它們之間的引力符合萬有引力定律，同時第一次測到了萬有引力常數。

萬有引力常數

由於地面物體的引力是非常微弱的效應，關於引力的實驗總是很困難。後來，愛因斯坦於1916年發表了更高階的引力理論——廣義相對論；100年後的2016年，他預言的引力波才首次被探測到。

牛頓把萬有引力定律，發表在他1687年的名著《自然哲學的數學原理》中。怎麼是哲學而不是物理學？那個時候，物理學和整個科學都還沒有完全從哲學中分離出來。是牛頓創立了科學方法，成為了現代科學的奠基人。在哲學裡，你可以自由地去思辨。在科學裡，你也可以大膽假設，但你必須使用數學和邏輯進行嚴格的推理；更重要的，你必須用實驗和觀測結果做最終的檢驗真理的標準。物理學，就是哲學、數學與實驗相結合後產生的科學。

我們寫這篇事後諸葛亮的文章，正是為了展示物理學分析問題的方法。

1687年，康熙王朝正如日中天。但遙遠的西方產生了科學，一個多世紀後就改變中國的國運。

在西方，萬有引力定律也是重大的思想突破。之前人們總認為天上的事情歸上帝管，現在發現它們遵守和地面物體同樣的物理規律。虔誠的教徒牛頓激動地說：我現在只需要上帝給我第一推動力，然後宇宙萬物就都屬於我的定律了！

感謝那個蘋果，讓人類的認識向前邁出一大步！

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背景簡介：

本文作者為物理學博士戴嵐山，微博@物理博士看天下。作者授權風雲之聲釋出。

責任編輯：

孫遠