A comprehensive mathematical framework treats wrinkling patterns as elegant solutions to geometric problems.

2018年，在密歇根大學的一次演講開始幾分鐘後，Ian Tobasco拿起一張大紙，把它揉成一個看似混亂無序的球。他先把它拿起來讓觀眾看了看，又揉了幾下，然後攤開。

“我得到了大量的褶皺，現在問題來了，”他說，“是什麼原因從一些更有序的圖案模型中選擇了這個圖案模型？”

然後，他拿起第二張大紙——這張紙被提前摺疊成著名的三浦織（由日本東京大學構造工學名譽教授三浦公亮所發明的摺疊技術）平行四邊形摺紙圖案，然後將其壓平。他說他在這兩張紙上用的力大致相同，但得到的結果卻大不相同。三浦織圖案被整齊地劃分成了一些幾何區域；而皺巴巴的球上，則是一團亂糟糟的鋸齒狀線。

“你會感覺到”，他指著皺巴巴的紙上零散排列的摺痕說，

“這個皺巴巴的球，只是三浦織的一個隨機無序版本。”

然後他指了指整潔有序的三浦織。“但我們還沒有確定這是否屬實。”

建立上述的這種聯絡需要建立彈性模型的通用數學法則。Tobasco多年來一直在研究這個問題，即研究描述薄的彈性材料（試圖透過恢復其原始形狀來響應變形的材料）的“方程式”。用力戳一個氣球時，氣球會形成放射狀皺紋的星爆圖案；當你移開你的手指，氣球會恢復原始形狀再次變得光滑。擠壓一個皺巴巴的紙球，當你鬆開它時它會膨脹（儘管它不會完全不皺）。工程師和物理學家已經研究了這些模型在特定情況下呈現的結果，但對數學家來說，這些實際結果指向了一個更基本的問題：

In general, what selects one pattern rather than anoth

er

？

2021年1月，Tobasco發表了一篇論文（https：//link。springer。com/article/10。1007/s00205-020-01566-8），肯定地回答了這個問題——至少可以回答將光滑、彎曲、有彈性的片材壓成平面的情況（這些條件為解決這個問題提供了一種明確的方法），皺巴巴的球是三浦織的隨機無序版本。他的“方程式”預測了看似隨機的褶皺是如何包含具有重複、可識別的“有序”域。上個月他又與人合作了一篇論文，展示了一種新的、以嚴謹的數學為基礎的物理理論，該理論可以預測現實場景中的模型。

值得注意的是，Tobasco的工作表明，褶皺在許多方面可以被視為幾何問題的解。“這是一個美妙的數學分析，”德國波恩大學豪斯多夫數學中心的Stefan Müller 說。

它首次優雅地闡述了這一普遍現象背後的數學規則——以及一種新的理解。“數學在這裡的作用並不是證明物理學家已經做出的猜想”，紐約大學庫朗研究所的數學家、Tobasco的研究生院顧問Robert Kohn說，“而是對於以前我們沒有系統理解的地方，提供一個數學理論。”

Stretching Out

發展褶皺理論和彈性理論是一個古老的目標。1894年，在《自然》雜誌的一篇文章中，數學家George Greenhill指出了理論學家（“我們要思考什麼？”）以及他們可以弄清楚的有效應用（“我們要做什麼？”）之間的區別。

在19世紀和20世紀，科學家們在“我們要做什麼”方面取得了很大進展，研究了與正在變形的特定物體的褶皺有關的問題。早期的例子包括：為航海船隻鍛造光滑、彎曲的金屬板的問題，以及試圖將山脈的形成與地殼的加熱聯絡起來。

最近，數學家和物理學家更加努力地將理論研究、實際觀察與各種起皺情況、幾何形狀和材料聯絡起來。“這已經持續了大約10年，我們首先進行實驗，然後試圖找到可以理解它們的理論”，牛津大學的數學家Dominic Vella說。“直到最近，我們才開始有了正確的認識。”

Ian Tobasco提出了一種理論，該理論以數學方式描述了曲面被壓平時出現的各種褶皺。

他們已經取得了一些令人興奮的結果。2015年，麻省理工學院的機械工程師Pedro Reis描述了在癟矽球上形成的幾何圖案的物理規律。他的工作將這些褶皺和彈性材料內外層的厚度聯絡了起來。Reis還指出，褶皺可能會為設計新機械行為提供機會，而不是被視為缺點。然後在2017年，Vella帶頭領導分析了薄彈性薄膜在壓力下的起皺不穩定性，並描述了褶皺數量是如何根據初始戳的深度和其他具體細節的變化規律。

但這些發展仍然只解決了部分問題。為了更一般地理解褶皺是如何形成的，我們需要一種不同的方法。而Tobasco則是進一步推動該領域前進的人。

Following Curiosity

Tobasco年輕的時候，他認為自己會進入航空航天工程。他2011年畢業於密歇根大學，獲得了該領域的學士學位，但那時他已經開始深入思考數學推理和物理系統。他獲得了數學博士學位，所以他開玩笑地責怪現在雪城大學的物理學家Joey Paulsen讓他走上了研究褶皺的道路。

在Paulsen職業生涯的早期，當他研究不尋常材料的性質時，他學會了使用一種稱為旋塗的技術，製造並分析超薄聚合物薄膜。首先，他製造了一種特殊的液體材料，其中含有微量溶解的聚合物；然後他將材料放在旋轉板上。大部分液體會蒸發，而聚合物在凝固之前會擴散成均勻的厚度。Paulsen在雪城大學擁有自己的實驗室後，他學會了如何利用旋塗技術來製造彎曲的薄膜——比如超薄的龜殼。

有一天，他將其中一些彎曲的薄膜放在靜止的水面上，並拍攝了它們是如何沉降在水面上的。“這純粹是出於好奇”，他說。這些照片在2017年與Paulsen的一次非正式會議上引起了Tobasco的注意。

“這些現象表明你可以得到這些隨機無序的褶皺圖案——當你把這個實驗做上兩次時，你會得到兩種不同的圖案，”Tobasco說，他現在是芝加哥伊利諾伊大學的助理教授。“我想看看我是否可以從彈性中提出一些結合外殼形狀的可推導方法來預測那些圖案，而且模型不會因殼而異。”

Wrinkling patterns are configurations with the least possible energy.

Wrinkling patterns are configurations with the least possible energy.

也就是說，隨著薄膜沉積在平坦的表面上，它會變形，直到找到需要最少能量來維持“褶皺”的一種排列，無論這個“褶皺”是否無序”，你可以透過圖案顯現時儲存的能量來組織圖案。”Tobasco說。

在該指導原則的指引下，他總結了薄膜的一些特徵，這些特徵

“起皺圖案是能量最少的“方案”。

包括一種稱為高斯曲率（Gaussian curvature）的形狀度量。具有正高斯曲率的表面會遠離自身彎曲，就像球的外部一樣。相反，負彎曲的表面是馬鞍形的，就像一片薯片：如果你朝一個方向走，你會往上走，但如果你朝另一個方向走，你就會往下走。

Tobasco發現正高斯曲率區域產生一種有序和無序區域的排列，而負曲率區域產生其他型別。“具體的幾何形狀並不那麼重要”，Vella說。“因為這真的只取決於高斯曲率的符號。”

被證明是選擇其圖案模式的因素，

取決於被彎折的方式，一個物體可以有正的或是負的高斯曲率。

左為正高斯曲率，右為負高斯曲率

壓平物體後褶皺的形狀

他們曾懷疑高斯曲率對起皺的重要性，但Vella表示，令他驚訝的是，褶皺區域竟然非常嚴重地依賴於符號。更重要的是，Tobasco的理論不僅僅適用於Paulsen的形式，也適用於更廣泛的彈性材料。“這是一個很好的幾何結構，可以顯示褶皺出現的位置”，Vella說。“但理解它的來源真的很深刻，有點令人驚訝。”

Paulsen同意也這一點。

而當物體被壓平時，高斯曲率可以決定出現的褶皺形狀

“What Ian’s theory very beautifully does

2018年初，Tobasco的理論已經基本完善了——但即使這一理論在紙上有效，他仍不能確定它在現實世界中是否準確。Tobasco聯絡了Paulsen，詢問他是否有興趣合作。“有些東西馬上就奏效了”，Paulsen，“Ian的一些預測，放在實驗圖片之上，我們立即可以看到它們如此的吻合。”

在當年的工業和應用數學學會材料科學數學方面的會議上，Tobasco被介紹給賓夕法尼亞大學的物理學家Eleni Katifori，他正在探索受限殼中的褶皺圖形問題並建立一個結果資料庫。這是一個偶然的機會。“我們可以看到Ian的工作在模擬中可以解釋的現象，”她說。這種匹配是不可思議的。在他們的第一次討論中，Tobasco的理論、Paulsen的實驗影象和Katifori的模擬就描述了相同的現象。“即使在早期階段當我們沒有任何具體的東西時，我們也可以看到這種聯絡。”

這種早期令人興奮的實驗結果很快引起了懷疑。這似乎好得令人難以置信。“他是一位數學家，他把所有這些東西都變成了無維度的，”Paulsen說，他指的是Tobasco關於曲率如何可以擴充套件到二維平面材料之外的想法。“我們真的在看同一個系統嗎？結果表明如此，但結果應當是如此嗎？”

在接下來的兩年裡，三位研究人員對細節進行了討論，表明Tobasco的理論確實——準確地——預測了Paulsen在他的實驗中看到的褶皺排列，以及Katifori在她的計算機模型中發現的褶皺的排列。8月25日，他們在Nature Physics上發表了一篇論文，展示了這三種方法是如何匯聚在相同的、直接的褶皺幾何排列上的。值得注意的是，他們發現這些圖案屬於整齊的等腰三角形家族，這些三角形劃分了有序和無序的領域。此外，結果不僅僅侷限於在數學上抽象為薄到不能再薄的材料，並且同時也解決了厚度在不同數量級下的問題。

他們的工作還為擴充套件該理論及其應用提供了機會。Katifori 說，作為一名物理學家，她有興趣利用這些預測來設計新材料。“我想了解如何設計表面，以便它們可以自動組織將起皺的圖案，使其成為你想要的東西。”

另一個尚待解決的問題是該理論如何普遍地適用於不同型別的曲面。“這一理論的實踐主要集中在 ［高斯曲率］ 為正或負的情況，但在很多情況下，曲面有些區域是正的，有些是負的，”Vella 說。Paulsen同意這是一個令人興奮的可能性，Tobasco說他正在這個領域積極工作，並考慮其他形狀的貝殼——比如那些有孔的貝殼。

但Paulsen表示，即使就目前而言，這個理論也是美麗而令人驚訝的。“如果我給你一個殼和一個邊界形狀，以及Ian理論預測的這套簡單規則，那麼你可以拿一個指南針和尺子，基本上畫出上面的褶皺”，他說，“你大可不必這樣做，但這是可以做到的並且是非常令人震驚的。”

作者：Stephen Ornes

翻譯&排版：冶無情

稽核：暮大河

我們始終相信對英文原文的閱讀可以獲得更深刻的理解，翻譯只是希望給大家帶來閱讀的興趣

is to give you the whole pattern, all at once.”