閉合曲面的立體角是多少

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利維坦按：

和莫比烏斯帶相類似，“克萊因瓶”（Kleinsche Flasche）也很魔幻，你想象一個空瓶子，其頸部延伸出來插入瓶身內部，然後瓶口與瓶底部相連。這就形成了一個沒有所謂內外的平面，其表面不會終結。

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也可以說，由於克萊因瓶是一個閉合曲面，所以它沒有邊界。不知道諾蘭《信條》是否借鑑了莫比烏斯或者克萊因瓶的構想，反正作為只看過一遍該電影的我表示實在很魔……

用指尖沿著莫比烏斯帶遊走，不用提起就能順暢滑過它的兩“面”——其實是一個沒有邊界的單面曲面。這個環是藝術家的遐想，數學家的壯舉。一個經典的思維實驗將有助於演示這個三維立體的環如何延展。想象一隻螞蟻在這個環上爬行，爬過一圈後，這隻螞蟻回到了出發的地方，但卻是在曲面的另一側，再走一圈，就真正完成了一個迴圈。兩圈後，這隻螞蟻一臉懵逼地回到了一開始的出發點。

莫比烏斯帶暗含豐富的象徵和敘事意義：

當你嘗試前行時，卻在側面繞圈子，想要進入圈內時，卻發現身處圈外。

這用來形容失控恰如其分。我們可能自問，2020年之後，我們將置身何處？在一片混亂之後，我們轉過身來會發現自身停滯不前、重回原點嗎？還是說，這是一個新的開始？

永無止境的莫比烏斯帶怪圈象徵著我們如何以一種非線性的方式感知時間的流逝。藝術家和作家對此現象也做出了探索。加西亞·馬爾克斯的《百年孤獨》就是一個突出的文學例證。這部小說將歷史、記憶和預言融為一爐。在角色行為和情感糾葛的迴圈重複中，布恩迪亞家族的故事徐徐展開。兩位家族成員的對話闡述了這一中心主題：

烏爾蘇嘆了口氣，“時間過得很快。”

“話是沒錯，”奧雷里亞諾附和道，“可也沒那麼快。”

莫比烏斯帶最為獨特之處也許是

不可定向性

。

定向性可以定義為“連續的相鄰兩點指向相同”。更具口語化的解釋是：在可定向的空間中，選定表面上的任意一點，可以為該點選擇“向內”和“向外”（或“向上”和“向下”）中的一個，即你永遠不會發現同一個點從“向上”突然變成了“向下”。

1858年，莫比烏斯帶由兩位德國數學家分別獨立發現。奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯（August Ferdinand Möbius）是一位數學家和理論天文學家（也是將“齊次座標”引入“射影幾何”的第一人）。年紀稍小的數學家約翰·本尼迪克特·李斯丁（Johann Benedict Listing）則創造了用於研究表面的術語“拓撲（topology）”，並在進行這項研究時獨立確定了莫比烏斯帶的性質。

但有趣的是，莫比烏斯帶的發現歷程也隱喻著“莫比烏斯帶的性質”，兩位科學家是從不同的方向，在同一年得出了相同的結論。

你僅用一張長紙條就能製作一個莫比烏斯帶模型：其中一端扭轉180°，然後將兩端粘在一起。但是人們曾一直認為這種形狀不會出現在自然界中。

由於人們從未在自然環境中觀察到它，因此有時將其稱為“不可能的形狀”。

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但是，在人類發明界中，它的實際應用比比皆是。例如，莫比烏斯帶應用於雙面使用的錄音帶、打字機色帶和計算機列印墨盒中。在20世紀60年代，美國桑迪亞實驗室在設計自適應電阻器時也運用了這一原理。另外，將傳送帶做成莫比烏斯帶的形狀，是因為能夠實現“雙面”利用，增加皮帶磨損的面積，兩面均勻承受磨損，從而延長使用壽命。

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莫比烏斯帶還被應用於各種文藝作品和產品中，其形狀出現於繪畫中，還有耳環，項鍊等各類珠寶中。

綠色三箭頭的通用回收標誌也採用了這一形狀，暗含提醒大眾減量、複用和再生的深遠寓意。這不僅僅是一個閉環動作。它更是動態的。

該符號旨在代表可持續迴圈的三個相互依存的方面：可回收材料的收集，將回收材料製成新產品，購買和使用由回收材料製成的產品。當三個箭頭追逐並相互推動時，每個箭頭都能起伏並圍繞中心旋轉起來。

莫比烏斯帶還被用於硬體和流行影象中，而數學和科學界已對此迷戀了一個多世紀。2005年，以色列巴伊蘭大學的艾薩克·弗羅因德（Isaac Freund）提出光的偏振屬性可以被扭轉。

光的偏振是描述其電場運動方式的屬性。物理學中的偏振被定義為“電磁波（尤其是光）中橫波的振動向量部分或完全偏於某些方向”。而橫波意味著光的振盪方向垂直於其能量移動的方向。

科學家可以根據光在空間中的方向將其限制在某些空間中。換句話說，光可以被誘導成新的形狀。

（www。newscientist。com/article/dn26876-mobius-strips-of-light-made-for-the-first-time/）

2015年，德國埃爾朗根市馬克斯-普朗克光科學研究所的彼得·班澤（Peter Banzer）檢驗了弗羅因德關於光可以扭曲的假說。據凱瑟琳·科爾納（Katherine Kornei）在《新科學家》雜誌上寫道，

“班澤的團隊從粒徑小於鐳射波長的一個金粒上散射了兩個[偏振]綠色鐳射束。干擾後得到了一種新的偏振模式，經過三次或五次扭曲，可以讓光具有莫比烏斯帶的結構。”

當我上高中時，英語老師穆爾維希爾（Mulvihill）女士向每個同學提一個不同的問題作為我們的期末作業。有個同學被問到：“《百年孤獨》中時間的形狀是什麼？” 他用一個故事迴應：他家曾經養過一條狗，老是追自己的尾巴。一圈又一圈像發了瘋，齜著牙，追趕著後腿。

有一天，狗追上了尾巴並咬掉了它。這就是《百年孤獨》中時間的形狀。

在這充滿孤獨，彷徨和距離感的一年裡，我們一直在體會異形空間和時間的感覺。但是，與馬孔多小鎮（馬爾克斯筆下“被人遺忘”的虛構小鎮）上的角色不同，我們一直在記憶和發現新知。即使當我們為自己失去的人哀悼時，科學創新仍在蓬勃向前，並給予我們安慰。

黑暗似乎是一望無前、毫無邊界的一個面。我們可以獨自往前，亦能攜手共進。但我們現在知道了，有些東西可能是一個永無止境的迴圈，令人目眩的知識領域，一個被證實的令人興奮的觀念：光。只需要往前推進一點。

文/Serena Alagappan

譯/Yord

原文/www。scientificamerican。com/article/the-timeless-journey-of-the-moebius-strip

本文基於創作共同協議（BY-NC），由Yord在利維坦釋出

文章僅為作者觀點，未必代表利維坦立場

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