物體與距地球需要保持多遠的距離，可以受到地球重力場的影響並以速度V遠離地球（質量M）？

感謝你的提問，這是一個非常有趣的問題。

有多種方法可以解答你的疑問，但最簡單的是利用“雙曲線飛越”假設。當我們假設某物體已非常接近地球，以至於地球的引力影響了整個太陽。這顆小行星相對於地球的速度稱為無窮遠處的速度，由於該物體沒有邊界，即具有正能量，其軌跡將是雙曲線，焦點位於質心（如果物體具有邊界，即具有負能量，如人造衛星，則為橢圓；如果物體具有足夠的能量以脫離地球的引力，則為拋物線。橢圓，圓，拋物線和雙曲線稱為圓錐截面，因為可以透過用平面“切割”圓錐來獲得）。

任何橢圓，拋物線或雙曲線軌跡的空間狀態都需要用六個引數來描述（三維空間任意一個物體，你都需要用六個常數去描述其空間狀態。三個用於描述位置，三個用於描述速度）。為解決我們的問題，在這裡只需要引入其中兩個引數，即偏心率和半長軸。偏心率用於描述圓錐截面的“開放”程度，圓=0，橢圓<1，雙曲線> 1。離心率越大，雙曲線就越“開放”。半長軸用於描述軌道的大小，圓的半長軸是其半徑；橢圓的半長軸對應較長軸的長度。

由於雙曲線是一個開放的軌跡，難以將其視覺化。其在數學上定義為，雙曲線上的任何點到兩個固定點的距離之差稱為焦距，等於2 * a（對橢圓而言，等於距離之和）。

如果我們稱最小距離為q，則在任何圓錐截面上都能表示出該距離。

（1） q=a（1-e）

由於e> 1並且q必須為正數（距離不能為負數），這就是為什麼雙曲線a在天體力學中通常為負數的原因。為計算出q值，我們首先需要知道a和e的表示式，這些表示式包括了無窮遠處的速度，碰撞引數和地球的質量。

假設來自太陽的擾動可忽略不計，該運動是平面的，並且角動量（即粒子位置與其速度的乘積）得以保留。因此，在所有飛越過程中，其初始值為一個常數。

如果我們將D稱為衝擊引數，那麼在t = 0時的角動量h將由下式給出：

（2） h=vinfinityD

其方向沿著z軸的指向。這可能表明，對於任何圓錐形軌道（橢圓形，雙曲線或拋物線，舉例參見Danby 1998，天體力學基礎，Ed。Willmann-Bell，第78-82頁）h由下式給出：

（3） h=sqrt{μ*a*（1-e2）}

其中μ是引力常數乘以地球質量m2的乘積。聯立方程（2）與（3）可得m2，vinfinity，D（已知）與未知數a和e之間的關係，即（4）sqrt {μ* a *（1-e2）} = vinfinityD

此時我們需要另一個方程，這可能量守恆定律得到。如果我們考慮小行星的質量為1，任何情況下其能量在都可由下式給出：

（5） E=-μ/r+v2/2

即勢能和動能的總和。在t = 0，v = vinfinity且與中心的距離r很大時，第一項可忽略不計。對於任何軌道，其能量也可以定義為（參見Danby，第63-65頁）：

（6） E=-μ/2a

我們最後聯立方程（5）和（4）（無窮大）可得：

（7） a=-μ/vinfinity2

（這是一個負數，因為它為雙曲線）。將（7）代入（4），可得：

（8） e2=1+vinfinity^4*D2/μ2

最後，q由下式給出：

（9） q=-Gm2/vinfinity（1-sqrt{1+vinfinity4*D2/μ2}

這是你提出的問題所需要的表示式，它由地球質量，無窮遠處的速度和衝擊引數得出 。

但是，在此推導過程中，我們忽略了太陽的擾動。實際情況中，我們也應考慮太陽的影響，這就是天體力學中所謂的“三體”問題。不過該問題沒有精確的解析解（但可以透過利用數學方法找到近似解）。其中一種是使用辛積分方法，這是一個軌道引數演算的程式，可以透過數學方法計算在一箇中心物體和多個擾動子的重力影響下物體的軌道引數。

但你的問題非常複雜，因為小行星正從太陽重力影響區轉移到地球重力佔主導的區域。新的辛積分方法已經被用來解決這個問題（利維森和鄧肯的SyMBA方法，J。 錢伯斯的水星法），並且已經可以研究一些有趣的問題，例如大型小行星與小行星家族成員親密接觸的長期影響（5億年）。

作者： curious

FY： a

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