麥克勞林公式n怎麼取

從古至今，“比較”都是人類生活中必不可少的部分。有了比較，就有了像 “多、少、一樣”等用於描述物體間數量關係的詞語，這些詞語抽象到數學中，就是我們從小學就熟知的“大於、小於、相等”（其中“大於和小於”我們稱之為

不等關係

）。

不等關係與不等式

“比較”如果總停留在“多與少”，那生活就永遠是一個模糊的概念。但人類文明是在不斷進步的，從定性到定量是必然。首先是一、二等數字的引入，然後是數的概念形成，數學中的不等關係變得更清晰了，人們可以藉助數來表達物體間的數量關係。如上圖中，蘋果個數的大小關係的本質蘊含在不等式中：2<6（少），6=6（相等），6>2（多）。這是單一的、獨立存在的不等關係。

17世紀，伽利略引入函式的概念以後，數學家們使用函式來描述兩個變數間的關係y=f（x），函式所體現的是“等量關係”。另一方面，為了處理函式值域的上下界等問題，也有數學家開始使用表示式來描述常量、變數內部及變數間的一類“不等關係”，這樣的表示式通常用符號“>”或“<”連結（如|x|>0），現在我們稱之為不等式。

早期的“不等式”

由於早期的數學並沒有函式的概念、也沒有形成“>”或“<”等符號，因此當時的不等式都是以文字來表述、使用“不足”“超過”等詞語體現的，也有部分不等式是後人根據早期數學家發現的等量關係去掉某些部分得到的。

（一）.圓周率π的近似值

阿基米德（Archimedes，前287—前212年）使用“窮竭法”計算圓周率π的近似值是早期不等式運用的典型。阿基米德從圓的內接和外接正六邊形出發，逐步對邊數加倍，直到內接正96邊形和外接正96邊形為止。阿基米德求出圓周率的下界和上界分別為223/71和22/7，並取它們的平均值3。141851為圓周率的近似值。

從方法上，“逼近思想”在一定程度上就是不等式思維的體現，從結果上看，π的近似值

223/71<π<22/7 本身就是一個不等式（儘管阿基米德沒有用真正的不等式表示）。因此，是否可以這麼說——阿基米德是第一個清晰使用並記錄不等式的人。

（二）.無理平方根的近似計算

另一個運用不等式求近似值的例子是開平方。早在公元1世紀，古希臘著名數學家就運用“平方根倍位法”來求無理平方根的近似解。在運用海倫公式

求三角形面積時，經常會遇到類似求√720的解，海倫採用了下面的方法：

另外，這一類公式

在我國古代（名曰：“不加借算”）、古印度及古阿拉伯等國家很早都被廣泛使用。其原理，都是運用不等式找上界或下界，透過重複的不等式運算（迭代）得到平方根的近似值。

（三）三角不等式

畢達哥拉斯以後的古希臘數學，主要以幾何為數學的基礎。因此，下一個早期出現的不等式是幾何的，而且我們再熟悉不過，它以文字的形式出現在歐幾里得（Euclid，約前330年-前 275年）的數學鉅著《幾何原本》（第一卷命題20）中——“

三角形的兩邊之和大於第三邊

”。用不等式符號表述為：“在邊長分別a，b，c三角形中，恆有a+b>c。”。

這是一個顯而易見的結論，在幾何學中的重要性也毋庸置疑。在解析幾何被發現以後，三角形不等式更是被賦予了向量表示和座標表示。

（四）基本不等式的兩個等價形式

《幾何原本》還賦予了另一個重要的不等式以幾何意義，當然，也許這並不是歐幾里得本人的意願，但是後人還是把第一次闡述並證明二維基本不等式（AM-GM）的功勞歸功於他。

，

從《幾何原本》第二卷命題五可以看出，歐幾里得闡述並證明了以下等式：

如果我們將正方形LEGH的面積略去，便得到二維形式的AM-GM不等式：

與歐幾里得《幾何原本》中的記載有異曲同工之妙，我國古代三國時期著名數學家趙爽在給《周髀算經》作注時，創制了一幅“勾股圓方圖”（趙爽弦圖），用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。

如圖，以

弦為邊的正方形

的面積等於四個直角三角形（

朱實

）的面積加上以股減去勾為邊的正方形（

黃實

）的面積。即，

如果我們去掉“黃實”部分面積，也可得到基本不等式的變形——重要不等式：

當然這裡的a和b都是正數（邊長不能為負數）。

儘管基本不等式被“發現”的時間較早，但是在很長一段時間內它並未引起數學家們的注意和重視，下一個重要突破由麥克勞林（Maclaurin，1698-1746）給出。麥克勞林在1729年，根據插值和對稱不等式相關知識，構造了以下的著名不等式——

麥克勞林不等式

：

這個不等式鏈的神奇之處在於，它包含了基本不等式，而且AM不等式在其最左邊，GM不等式在其最後右邊。下面是當n=4時候的麥克勞林不等式。

麥克勞林不等式基於對稱不等式，無論之於式子的對稱性、和諧性、簡潔性，還是不等式的實用性，都具有較高的數學欣賞性和自然美感。但是也有遺憾，基本不等式有一個拓展的不等式鏈——均值不等式， 麥克勞林不等式並不能包含平方平均數和調和平均數。

於是，再過了一個多世紀，德國數學家赫爾德（Hölder，1859-1937）透過“赫爾德均值”定義下的“廣義均值不等式”彌補了這一遺憾。

（五）伯努利不等式

另一個早期不等式是“伯努利不等式”，它由雅各布（Jacob Bernoulli，1655-1705）在

1689年的文章“Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis”中首次發表，並多次使用該不等式進行證明。

“伯努利不等式”在高中數學中仍然佔有較高的地位，人們對伯努利家族的崇拜、以及歷史的演變使得對這個不等式的發現深信不疑。但是它也可能被張冠李戴了，根據1963年Hofmann的最新研究，“伯努利不等式”的發明權應該歸屬於斯魯茲（Sluze，1622-1685），因為在Mesolabum（1668）中，他引入了不等式鏈：

如果我們將各項疊乘，可以輕鬆得到伯努利不等式。當然，這樣的發現是間接的，而伯努利的不同之處在於直接給出了不等式。

（六）柯西不等式

柯西不等式，嚴格意義上說，應該叫做【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨（Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz）不等式】，名字聽起來既長又奇怪。他首先由法國數學家柯西在Cours d‘analyse de l´Ecole Royal Polytechnique（1821）中以註釋的形式給出柯西不等式（離散）的簡單形式，及特殊情況的證明。

接著，柯西的學生布尼亞科夫斯基在1859年的論文中，給出了柯西不等式的積分形式。

施瓦茨（Schwarz ，1843-1921）在d ¨Uber ein die fl¨achen kleinsten fl¨acheninhalts betreffendes problem der variationsrechnung（1888年）中，給出了柯西不等式積分形式的嚴格證明。

不等式的符號表示

我們都知道，在17世紀，有2個重要的不等號的符號表示，即英國數學家奧特雷德（Oughtred，1574-1660）的

，

，以及英國哈里奧特（Harriot，1560–1621）的“<”或“>”。但在接下來的1個多世紀，由於Oughtred的

Clavis Mathematicae比

Harriot的代數作品更受歡迎，因此，明顯人們更多地使用Oughtred的不等符號。

但為什麼今天我們最終選擇了“<”和“>”呢？可能有這樣的一些原因：一、Oughtred在自己的部分作品用也使用了這個不等符號，要知道，Oughtred的作品廣受歡迎，而他自己並沒有堅定的使用自己的符號，是否也覺得自己的符號寫起來不方便呢？二、19-20世紀包括Cajori （1859-1930） 在內的數學家發文關注到了，Oughtred不等符號書寫的困難，這對Oughtred的符號使用時具有負面引導性的。當然，筆者覺得，如果把這兩類符號給小學生選擇，他們依然會選擇“<”和“>”，數學應該儘可能的書寫簡潔。

接下來的一個重要符號由18世紀數學家給出， 1734年，法國測量員布格（Bouguer，1698 - 1758）給出了符號“≤” 和“ ≥”，並沿用至今。

作為數學概念的不等式

前文介紹了許多重要的不等式，它們分佈在幾千年的數學文明之中，縱然17世紀就已經有了不等式的符號表示，數學們也嘗試用數學家的名字來命名不等式，但直到20世紀，不等式知識都是零散的、不嚴謹的。數學家們只是把它作為一個解決問題時需要的工具，在極限等模組中大量使用，即使像柯西這樣的數學大咖，也沒有從一個系統性的角度來研究不等式。

直到1934年，第一本研究不等式的書籍——哈代-李茲伍德-波利亞合著的《不等式（

Inequalities

）》問世，才讓不等式正式走向數學舞臺的臺前。同時，哈代（Hardy，1877-1947）還作為the

Journal of the London Mathematical Society

雜誌的創始人，這個雜誌為不等式的相關論文發表提供了便利。為此，哈代被譽為“the father of the Discipline of Inequalities”。

《不等式（

Inequalities

）》的發表，似開了閘的水庫，讓不等式這個被禁錮了千年的數學之子噴湧而出，自此一發而不可收拾。不等式從數學中脫穎而出，第一次作為獨立的數學概念（甚至學科）而存在，直至今日，都在數學中扮演了重要角色，也成為各類數學競賽的“寵兒”。