不大於包括等於嗎

《科學》雜誌曾於創刊125週年之際釋出過125個推動基礎科學研究的科學難題，王江火在此後的文章中將透過統一資訊理論來有選擇地逐一嘗試解決這些難題。本文首先揭示“黎曼猜想是真的嗎？”。

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，他向柏林科學院提交了一篇題為《論小於給定數值的素數個數”》的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”，它發現了素數分佈的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函式之中，尤其是使那個函式取值為零的一系列特殊的點對素數分佈的細緻規律有著決定性的影響。那個函式如今被稱為黎曼ζ函式，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函式的非平凡零點。

一 、“黎曼猜想”的基本問題

黎曼猜想的核心：存在一個對素數分佈規律有著決定性影響的黎曼ζ函式，而這個黎曼函式ζ（s）=0的所有有意義的解都在一條直線上，即——很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。數學表示式如下：

ζ（s）= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直線x=1/2上

但是，黎曼在這兒用了“可能”二字，這就形成了最終的黎曼猜想，導致了後人為此奮鬥不息。歷史上，哈代證明了有無窮多個非凡零點的實部為1/2；萊文森證明了至少有1/3的非凡零點實部為1/2，現已推進到40%；截止2004年，已經計算了黎曼ζ函式的10萬億個非凡零點，它們的實部全都是1/2。雖然如此，數學家們也仍然無法確定這是一個定律，因為至今沒有人能從邏輯推理上根本證明。

進一步說明。黎曼ζ函式是關於s的函式，其具體的定義就是自然數n的負s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函式就是一個無窮級數的求和。若將 n = 1 代入，就會得到調和級數，它是發散的。然而對於 n > 1 的所有值， 該級數是收斂的，這意味著當 r 遞增時，其和趨向於某些數，即它不會增長到無窮大。

基於這個原因，為了研究Zeta函式的性質，黎曼透過圍道積分的方式對該函式做了一個解析延拓，將s存在的空間拓展為複數平面，此時的黎曼ζ函式就是一個複變函式了：

sin是正弦函式，而Γ是伽馬函式，可以看做是我們熟知的階乘在複數域上的解析延拓。這裡的s，就可以是任意（非1）複數了。那麼，如果當自變數x取某個值時，使得因變數y=0，那麼這個值就是這個函式的一個零點。而全體負偶數都是黎曼ζ函式的零點，即某個三角sin函式的週期零點，這些零點太平凡了，我們稱它們為平凡的零點。相應的，黎曼ζ函式還有別的零點，即Zeta函式自身的零點，這些零點被稱作“非平凡零點”，也叫“非凡零點”。

針對非平凡零點，黎曼提出了三個漸進命題。

第一命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分佈在實部大於0但是小於1的帶狀區域上。

第二命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位於實部等於1/2的直線上。

第三命題，黎曼用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最後這個命題，就是讓後世數學家如痴如醉且寢食難安的黎曼猜想。

目前，上述三個漸進命題最容易證明的結果只有第一命題，即它們都分佈在一個帶狀區域上，但黎曼認為它們的分佈要比這個容易證明的結果齊整得多，他猜測它們全都位於該帶狀區域正中央的一條直線上。

黎曼猜想為什麼重要，其中一個原因是這些非平凡解和素數有關聯，如果我們知道了黎曼zeta函式的所有非平凡零點的精確位置，那麼就有了計算素數函式的精確公式。據瞭解，黎曼猜想和一個計算素數分佈的公式是等價的。

二、本文作者認為，“黎曼猜想”不可能是真的，即它不可能成立！！！

首先說明，本人認為“黎曼猜想”是一種基於現象而硬性推導的主觀願望命題，而這種願望就是企圖找到素數分佈規律，這本身就超出了客觀性問題，故這是無法透過數學方式予以證明和證偽的，對於該命題的證明和證偽需要跳出數學正規化，透過最基本的邏輯事實予以推導。這也算是一種自洽證明理論吧。

證明：

（1）宇宙是自然的，宇宙不可能由觀念決定，而數學包括素數分佈規律都是觀念性的，“黎曼猜想”不可能超越自然性而被先定；

（2）黎曼猜想隱藏著很嚴重的危險因素，如果被證實為真，那麼宇宙密碼將會被素數的分佈規律所決定，這將會回到畢達哥拉斯的數本原說，進而最終否定了宇宙的自然性；

（3）儘管數學家已經驗證了十萬億個這種非平凡的解，全部都符合黎曼猜想，但數學不能靠歸納，一定要透過邏輯證明，才能真正變成定理，而黎曼猜想是無法做到這一點的。尤拉的某個猜想在前幾千萬個數都符合，但幾千萬個數字後卻出現了反例。

舉例說明。由於人類還沒有發現素數的規律，網際網路以素數作金鑰進行加密還是非常可行的，破解者需要進行大量運算，即使用最快的電子計算機，也會因求素數的過程時間太長而失去了破解的意義。但是黎曼猜想被證實的人話，就會導致素數之秘被解開，那麼現在幾乎所有網際網路的加密方式將不再安全，因為我們主要的非對稱加密包括RSA金鑰加密等等，都是基於大數的分解，只要證明方法被公佈，就會有人根據其原理能破解網際網路、銀行等密碼體系。

黎曼猜想如果不是真的話，也會帶來排山倒海的效應，因為黎曼猜想被譽為數學猜想的皇冠，已經有上千個數學命題都是以黎曼猜想作為基礎的。如果黎曼猜想被證偽，那麼這一千多個數學命題都會破產，甚至誘發現代數學大廈崩潰。不過，現代數學體系大廈的危機並非基於黎曼猜測，其在高等數學建立初期就已經出現端倪，現代數學終究會被全新的更加先進的認知體系所替代，這是人類認知發展的必然規律。站在這個角度分析，數學危機反而是一件好事情，希望這一天早日到來。