數學論文有著非常獨特的體裁，這是在 20世紀初建立起來的。一篇典型的數學論文通常都是形式的和非形式的寫作的混合物。在理想情況下（但絕非總是如此），作者要寫一個可讀的引言，告訴讀者他能在本文餘下的部分裡讀到什麼。如果文章分成幾個部分，絕大多數文章，除非太短都會分成幾個部分，則若每一部分都以下面的論證的非形式的大綱開始，那對於讀者就會很有幫助。但是文章的主要實質部分應該是比較形式、比較詳細的，使得如果讀者打算花上充分的力氣，他就能說服自己∶這篇文章是正確的。

一篇典型的論文的目的是建立起一些數學命題，有時目的僅在於此。例如，論文的價值就是它證明了一個 20年沒有解決的猜想。有時，建立這些數學命題是為了一個更廣泛的目標，例如解釋一個人們理解不夠的數學現象。但是，不管是哪一種，數學命題都是數學的主要價值所在。

命題中最重要的通常稱為定理（theorem），但是也有些命題就稱為命題（propositon），還有時叫做引理（lemma）、推論（corollary）。這些種類的命題很難作清楚的劃分，但是它們的字面意思也就說明了怎樣區分。定理就是您認為是具有內在的興趣的命題，它可以從一篇論文裡抽出來，例如用來對朋友們講，在討論班上作報告。成為論文的主要目標的命題通常就叫定理。一個命題其實也就是一個定理，但是它們時常有點令人“厭煩”。論文裡面要去證明令人厭煩的結果，聽起來有些奇怪，但是它們可能是重要而且有用的。它們令人厭煩，是由於它們怎麼也使人驚奇不起來。它們就是那些我們需要、也希望其為真、證明起來也沒有困難的定理。

下面是一個簡單的例子，是一個可能更願意稱之為命題的定理。二元運算“*”的結合律指出∶

我們時常把這個定律非正式地說成是“括號不起作用”。然而，儘管它告訴我們，直接寫x*y*z也不會引起歧義，可是，如果說a*b*c*d*e也不會引起歧義，就不那麼顯而易見了。

我們怎麼知道僅僅因為在三個物件的情況下，括號的位置沒有影響，則在多於三個物件的情況，括號也不起作用？

許多學數學專業的大學生讀完了大學，還沒有注意到這還是一個問題。 似乎結合律就表示括號不起作用。他們基本上是對的，雖然並不完全顯然，但是證明這一點不會給人帶來驚喜，而且結果是很容易證明的。因為我們時常會需要這個簡單的結果，又很難稱它為定理，把它稱為一個命題也還是適合的。

當證明一個定理時，證明時常過長也過於複雜。這時，如果希望有人願意讀下去，就需要使證明儘可能清晰。最好的方法莫過於建立一些子目標，其形式就是位於假設和我們想得到的結論之間的一些中介的命題。

這些命題時常就稱為引理

。 舉一個例子∶假設想對根號2是一個無理數的標準證明給出一個非常詳細的表述。有一個需要的事實就是∶

每一個分數 p/q都等於一個分子分母不同時為偶數的分數，即可將p/q寫成r/s，其中r和s不能全是偶數，而這個事實也需要證明。

為清楚起見，你會決定把這個證明從主要的證明中分離出來，並稱之為一個引理。這樣，就把自己的工作分成了兩個分開的工作∶

一是證明引理，二是用這個引理去證明主要的定理。

可以把這個做法與寫計算機程式平行對照起來∶當寫一個複雜的程式的時候，一個好辦法是把主要任務分成一些子任務，並且各寫一個小程式，把這些小程式當成“黑盒子”，以便在用得著的時候讓程式的其他部分去訪問它們。

有些引理很難證明，而且在不同的背景下也用得著，所以最重要的引理比那些不甚重要的定理可能更重要。然而有一個一般的規則，

如果證明一個結果的主要理由在於把它用作證明其他結果的踏腳石，那就把這個結果稱為引理。

如果一個數學命題可以容易地從另一個命題匯出，就稱它為另一個命題的系（或者直接就說是其推論），有時，一個主要定理後面接著幾個系，藉以說明這個定理的力量。有時，主要定理也叫做系，因為證明的所有工作都是為了證明一個不同的、不那麼簡練有力的結果，而主要定理可以由它很容易地得出來。如果發生了這種情況，作者應會說明，這個系是論文的主要結果，而其他作者則會稱之為定理。

一個數學命題是透過證明來確立的。數學的一個最值得注意的特點就在於可以有證明，例如，一個由歐幾里得在大約兩千多年前發明的論證在今天仍然被接受為完全有說服力的證明。然而，一直到19世紀末和20世紀初，這個現象才為人恰當地理解，就是直到數學語言被形式化以後。到那時他才可能把證明的概念弄明確。

從邏輯學家的觀點來看，所謂證明就是一連串的數學命題，每一句都用形式語言寫成，

而且具有以下的性質∶

最前幾個命題是初始的假設，或稱前提；這一串中的其餘命題根據邏輯的規則，從它們前面的命題得出，這些邏輯規則又如此簡單，所以這些推導都清楚地是有效的；

這一串命題的最後一個就是想要證明的命題。

對於實際出現在一篇規範化的數學論文，寫在“證明”這個標題下的東西，只是上述關於證明的思想的理想化。這是因為一個純粹形式化的證明將是冗長而幾乎無法卒讀的。儘管如此，論證在原則上可以形式化這個事實，為數學大廈提供了非常有價值的支撐，因為它給出瞭解決爭論的途徑。如果一位數學家給出了一個奇怪的沒有說服力的論證，要看它是否正確，最好的方法就是請他或她作出更加形式化、更加詳細的解釋。這樣做，要麼會暴露出錯誤，要麼會使得這個論證更加清楚。

定義

數學論文的另一個非常重要的成分是定義。舉例來說，如果要證明一個關於三角形的定理，而且總是需要用到從一個頂點到對邊的距離，這就麻煩了，因為總需要說“從A，B，C分別到BC，CA，AB的距離”，這樣，就不如選擇一個詞“高”，並且寫道∶“給定三角形的一個頂點，定義其高為從一個頂點到它的對邊的距離”。如果考慮的三角形是鈍角三角形，就得小心一點，寫道∶“給定三角形ABC的頂點A，定義其高為由A到透過B，C兩點的唯一直線的距離”。從此以後，就可以使用“高”這個詞，而不必說上那一大段話，行文就簡潔多了。像這樣的定義不過是為簡便而給定的定義。

但是，真正有趣的定義是不那麼顯然，而是一旦有了它，就會用新的方式來思考的那種定義。一個很好的例子就是函式導數的定義。如果你不知道它，對於如何求實的函式

達到最小的正的 x，你的思想就是一片空白。 如果你知道了它，這個問題就成了一個簡單的習題。這可能有點誇張，因為你還得知道，這個最小值會出現在導數為0處，你還得知道如何微分f（x），但這些都是簡單的事實，真正的突破是在概念本身。

像這樣的定義有許多例子。但是有趣的是，在數學的某些分支裡面，它們比在其他分支裡面更加常見。有些數學家會告訴你，他們的研究的主要目的就在於找出正確的定義。有了這些定義，他們的整個領域就被照亮了。確實，他們必須要去寫證明，但是，如果定義正是他們所尋找的，證明時常會是相當直截了當的。是的，有他們能用這些定義來解決的問題，但是，就和上面的極小化問題一樣，這些問題對於整個理論並不是中心，說這些數學家是在展示他們的定義的力量更恰當些。對於另外一些數學家，定義的主要目的在於證明定理，但是，甚至這些非常的以定理的證明為導向的數學家時而也會發現，一個好的定義對於增強解決問題的本領起了重大的作用。

這就把我們引導到（怎樣看待）數學問題。一篇數學論文的主要目的通常都是證明定理。但是，讀文章的主要理由之一卻是為了推進自己的研究。所以，如果一個定理是用了一種可以用於其他背景的技巧，那麼這篇文章是會受歡迎的。如果一篇文章裡面包含了好的未解決的問題，它也會受到很大的歡迎。作為一個例證，我們來看一個絕大多數數學家都不會認真對待的問題，藉以從中看到這個問題缺少了些什麼。

一個數稱為迴文數，如果它的十進表示式是迴文的形式∶22，131和548845都是迴文數的例子。131是有趣的，因為它是一個素數。讓我們試著來找更多的

素迴文數

。一位的素數當然都是迴文的，而二位迴文數必以11為因子，所以，只有11本身是素數。這樣，我們很快就到了三位數。這裡有幾個素迴文數的例子∶101，131，151，191，313，353，373，383，727，757，787，797，919和929。不難看到，所有偶數位迴文數都以11為因子。但是，素迴文數並未止於929。例如，10301就是下一個最小的素迴文數。

現在，任何一位稍有一點點好奇心的人都會問∶

是否有無限多個素迴文數？

結果是，這居然是一個未解決的問題。人們相信是有無限多個素迴文數（這是基於素數應該是充分隨機的，而奇數位的迴文數也看不出有特別的理由一定就有因子），但是誰也不知道如何去證明它。

這個問題有一個很大的優點，就是它很容易懂，這使它很吸引人，但費馬大定理和哥德巴赫猜想不也正是由於很容易懂而吸引人嗎？但是這個素迴文數的問題並不像後兩個問題那樣，不能成為中心的問題。絕大多數的數學家會把它放進“休閒數學”或者“數學遊戲”這樣的智慧寶盒裡去，然後就忘得一乾二淨。

這種拋棄的態度的理由何在呢？難道素數的研究不是數學的中心物件嗎？確實是的，但是迴文數卻不是，其所以不是的主要理由在於“迴文數”的定義極端地不自然。

如果知道了一個數是迴文數，則與其說是知道了這個數的特性，不如說知道的是表示這個數的方式的特性，而由於歷史的原因，我們恰好是採用了這個方式。

特別是，具有迴文數形式依賴於我們選取了以10作為記數的基底。設若以3位記數法的基底，131這個數將寫成11212，倒過來寫就不一樣了。

這個說法雖然有一定的說服力，卻不是完整的解釋，因為有可能某些有趣的性質正是牽涉到 10 的。 下面再舉一個例子，形如

的素數是否有無窮多個，這個問題被認為是有趣的，雖然其中使用了一個特別的數2，選用2是有正當理由的。

因為若取 a>2，則a^n-1恆有因子a-1（它是一個大於1的正整數），所以，除非n=1，a^n-1一定不是素數。因此，形如 a^n-1的素數是否有無窮多個？這個問題的答案一定為否。此外，形如2^n-1的數還有許多性質，使它們更可能是素數。

但是，即令把10換成一個“更自然的”數2，並且來看那些迴文數寫成二進位制後怎樣，那也還得不到一個會被看成嚴肅的研究主題的性質。設給定一個正整數 n，定義 r（n）為其顛倒數，就是先把它寫成二進位制，再顛倒次序來寫，這樣得到的數。這時，一個二進位制意義下的迴文數，就是使得n=r（n）的數 n。但是，函式r（n）是非常奇特而且“非數學”的。舉例來說，從1到20這些數的顛倒數依次是∶1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，13，3，11，7，15，1，17，9，25，還有5，這給出了一個看不出任何模式的序列。

實際上，當我們計算這個序列時，就會看到它比初看起來還更加是人為的。人們可能會想，顛倒數的顛倒數就是這個數本身，但是不然。例如取數10，它在二進位制中是1010，所以其顛倒數是0101，就是5。但是在正常情況下，5是會寫成101的，所以5的顛倒數仍然是5，而不是10。但是，我們又不能規定把5寫成0101，因為這樣一來5就不是迴文數了，而它應該是的。

這是不是意味著沒有人會有興趣去證明確有無窮多個素迴文數了？完全不是。 可以很容易地證明小於n的素迴文數的個數在根號n附近，與n比較，這隻佔一個很小的部分。在這樣稀疏的集合裡面去證明關於素數的結果，是難得出了名的，所以解決這樣一個猜想將是一個突破。然而“迴文數”的定義實在太人為造作了，所以無法在一個數學證明裡詳細地使用這個定義。解決這個問題唯一現實的希望是去證明一個廣泛得多的一般結果，使這個問題成為其許多推論裡的一個。這樣一個結果將是奇妙的，無可否認是有趣的。但是如果總在想著迴文數，是發現不了它的。所以最好試一試去提出一個更加一般的問題，或者去找一個更自然的這一類的問題。後一方面的一個例子是∶有沒有無窮多個素數可以寫成m²＋1的形式？這裡m是一個正整數。

一個好問題的最重要的特性可能就在於它的一般性∶一個好問題的解答，時常會超越這個問題而有許多分支。對於這種使人愉悅的性質，也許“可一般化”是一個更準確的字眼，因為一個極好的問題可能看起來很特殊。例如“根號2是一個無理數”這個命題只是關於一個數的。但是一旦您知道了怎樣去證明它，對於怎樣證明根號3也是無理數就不會有困難了。事實上，這個證明可以推廣到廣泛得多的一類數。很常見的一種情況是∶一個好問題，在您開始去想以前，看起來是沒有什麼意思的。然後就會體會到，問這樣的問題是有道理的∶它可能是一個更一般的問題的“第一個困難的情況”，或者是一大堆問題的選擇得很好的例子，而在這些問題裡都會遇上相同的困難。

有時，一個問題就只是問一件事，但是一個想去問一件數學上的事情的人，心裡對於答案如何已經會有一個好主意了。一個猜想就是作者堅信但又無法證明的數學命題。和對於問題一樣，有些猜想好於其他的，一個最好的猜想對於數學研究的方向會有重大的影響。