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這是最近我們這裡高三考過的一道題目，題型很常見，就是常規的三角函式型導數零點個數求參問題，但題目的得分率並不高，原因可能是新高三學生不熟悉此類問題，另一方面是這個題目出在高三前期並不合適，放到年後一輪複習結束後就可以了，今天透過這個題目來淺說一下此類問題如何分段討論。

與三角函式結合的導數大題常見題型就兩種，一是恆成立求參，二是與零點有關的問題，其中與零點有關的問題又可分為兩種，即討論零點個數或根據零點個數求引數範圍。

從題型設定上來看，無論哪種題型都需要注意函式在特殊點處的函式值，這裡的特殊點不僅僅指定義域的左右端點，還包括使得函式中某些三角函式為特定值的點，由於此類題型恆成立求參常用端點效應先確定引數的大致範圍再討論，因此找出特殊點是解題的關鍵所在，另外這裡的特殊點可不只是原函式的特殊點，還包括一階或二階導函式的特殊點。

此外無論哪種題型，若與係數有關，則需注意係數的位置，若係數在三角外側，此時處理起來相對容易，若係數在三角函式內部，此時就需要特別留意了，因為係數和x結合在一起時整體的範圍不確定，三角函式部分的單調性和保號性都可能不容易確定，處理這種情況時可以使用整體換元，之前發過一篇相關的內容，在文末連結中可檢視。

從解題方法上來看，三角函式型導數整體討論和分離引數均可，整體討論居多，但不要忽略分離引數這種常規解法，熟練的進行三角放縮是必備知識了，就不在贅述，另外很多學生不注意此類導數大題前後兩問的關係，第一問無論是求最值還是證明某個簡易不等式都可能是為第二問解題準備的關鍵步驟。

至於如何切分割槽間，可大致歸結為兩種方法，最常見的是根據特殊點，單調性，保號性進行切分，這也是主流三角函式型題目的切分方法，還有一類不常見的，就是需要根據題目中三角函式的值域進行切分，切分的目的是為了證明不等式成立或放縮成立，後面會給出一個案例。

回到本題，第一問當a=1時函式的最小值為零，導函式中用到了很常見的三角放縮形式，即當x≥0時，e^x≥x+1≥sinx+cosx，此時可得到一個備用的恆成立不等式。

第二問可分離引數，但這樣第一問的結論就沒用了，這裡只給出整體討論法，函式在x=0時有一個零點且滿足f（π）>0，因此函式在區間內有兩個零點時的影象就能大致作出來，先給出第二問解題過程。

這裡有學生問為什麼以a=1為引數討論分界點，其實是根據第一問的結論得出的，若沒有第一問直接做第二問還得把第一問的相關過程寫上，如果沒有第一問，題目對學生的觀察能力要求會更高，本題引數在三角函式外，切分割槽間時很容易，建議學生按照如下這種方式來分析：

由於本題是需要用三階導往原函式上推，過程相對複雜，解題時可以透過影象來提高邏輯性，其實本題和2019年的高考真題很類似，不算是一個原創題。

最後，有時候需要根據三角函式的值域來切分割槽間，這裡給出一個案例中的一部分，完整的案例在文末的連結中有。

如上題中，

紅

框中

是錯誤

解法，因為在給定x和

引數的範圍下無法保證

三角函式整體為正數

，所以直接寫後面的大於號

是

錯誤

的，但根據3ω的範圍，可將x的範圍以二分之一為界分開討論，這樣就可避免符號錯誤。

案例中如果不按照以為界切分割槽間，可使用放縮來處理，過程簡潔明瞭，但並不容易想出。

最後，三角函式型導數大題已經發過很多篇內容了，基本上沒有遺漏，讀者可參考如下連結，該題型以後不再重複了。

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