什麼叫方差率

離均差、方差、均方差、協方差這幾個數學名詞都聽上去都差不多，可是在日常工作生活中能用得上這些概念的人應該不多，今天就來說說其中的差別。

要想搞清楚什麼是離均差、方差、均方差和協方差，得先從均值這個概念開始。哪怕是數學再不好的人，也應該知道算術平均數是怎麼回事吧。

以標準普爾500指數為例，在2018年9月10日至9月21日期間共有10個交易日，自然也就有10個標準普爾500指數的收盤價。將這10個交易日的標準普爾500指數收盤價相加後除以交易天數10，就會得出這10個交易日標準普爾500指數收盤價的均值2，902。46。

日期

標準普爾500指數X

均值

2018-9-10

2，877。13

2,902.46

2018-9-11

2，887。89

2018-9-12

2，888。92

2018-9-13

2，904。18

2018-9-14

2，904。98

2018-9-17

2，888。80

2018-9-18

2，904。31

2018-9-19

2，907。95

2018-9-20

2，930。75

2018-9-21

2，929。67

合計

29，024。58

有了均值，下面就可以計算離均差，

離均差就是一組資料中各個數值與該組資料均值的差異

。用上述10個交易日的收盤價分別減去均值2，902。46，可以得出每一個收盤價的離均差。

日期

標準普爾500指數X

均值M

離均差=X-M

2018-9-10

2，877。13

2，902。46

(25.33)

2018-9-11

2，887。89

(14.57)

2018-9-12

2，888。92

(13.54)

2018-9-13

2，904。18

1.72

2018-9-14

2，904。98

2.52

2018-9-17

2，888。80

(13.66)

2018-9-18

2，904。31

1.85

2018-9-19

2，907。95

5.49

2018-9-20

2，930。75

28.29

2018-9-21

2，929。67

27.21

離均差是計算方差的基礎，將離均差乘方，相加求和後再除以10求平均值，得出來的結果就是這組資料的方差，

方差衡量的也是一組資料中各個數值與該組資料均值的離散程度

。在下表中，方差等於280。7405。方差的計算公式為

，其中x為樣本平均值，n為樣本的大小。

日期

標準普爾500指數X

均值M

離均差

(

離均差)^2=σ2

2018-9-10

2，877。13

2，902。46

（25。33）

64

1。51

2018-9-11

2，887。89

（14。57）

212。23

2018-9-12

2，888。92

（13。54）

183

。28

2018-9-13

2，904。18

1。72

2。97

2018-9-14

2，904。98

2。52

6。36

2018-9-17

2，888。80

（13。66）

186

。54

2018-9-18

2，904。31

1。85

3。43

2018-9-19

2，907。95

5。49

30。16

2018-9-20

2，930。75

28。29

800。44

2018-9-21

2，929。67

27。21

740。49

合計

29，024。58

2，807。4055

280.7405

有了方差，標準差就迎刃而解了，因為標準差=方差的平方根，用σ表示。因此，前面這組資料的標準差=（280。7405）^（1/2）=16。7553。

且慢。。。以上的計算過程是基於該組資料是樣本資料的總體這一前提假設，也就是說在標準普爾500指數的歷史上只有2018年9月10日至9月21日這10個交易日的收盤價。當然這是不可能，因為這些資料只是抽樣資料，是為了舉例說明而給定的樣本資料而不是資料的全部，因此需要對以上計算過程略作調整。上表中的和2，807。4055應除以（10-1）而不是10，方差的結果變成311。9339，同樣標準差也就變成=（311。9339）^（1/2）=17。6617：

標準差又名均方差，是離均差平方的算術平均數的平方根，可用來

衡量一組資料中各個數值與該組資料均值的離散程度

。標準差的計算公式為

，其中x為樣本平均值，n為樣本的大小。標準差越大，說明該組資料中大部分資料與均值的差異較大。均值相等的兩組資料，標準差卻未必相同。比如，有A、B兩組資料，如下表所示，這兩組資料的均值都等於5。

A

B

3

4。8

5

5。2

4

4。3

6

5。7

7

5

但各資料偏離均值的程度是有差異的。。。，可以看到均值相等的兩組資料中，A組中各個資料之間的差異程度要高於B組。

小結一下：

方差是標準差的平方，是離均差平方的和的均值。

透過以上的演示計算，可以看到離均差、方差、標準差衡量的都是某一組資料內部各數值偏離均值的程度，通俗地講是自己跟自己比。但下面介紹的協方差比較的是兩組資料之間的差異程度。協方差的計算公式為

其中

是兩個資料系列的樣本平均值，x、y為資料系列中的單個數據，n為樣本的大小。

如果用於比較的兩組資料完全相同，那麼其方差和協方差的計算結果是一致的，因此方差只是協方差的一個特例。

有了方差和協方差，下一步就可以計算相關係數了，公式為

其中是兩個資料系列的樣本平均值，x、y為資料系列中的單個數據，n為樣本的大小。

需要注意，如果用協方差計算相關係數，協方差中的x、y假設為全體資料，因此協方差公式中的標準差計算時，需要除以n而不是n-1。

以西德克薩斯輕質原油和標準普爾500指數為例，計算其收益率之間的相關係數，收盤價取值日期為2018年9月10日至9月21日。

分佈推導的結果與EXCEL自帶函式計算結果相符。