方向具有什麼性填空

一題可破萬題山。 一題多解能調動學習的積極性，提高思維的活躍性、靈敏性，增強分析問題、解決問題的能力。本文從多方位視角解讀2014年重慶A卷填空壓軸題。

一、原題呈現

如圖1，正方形ABCD的邊長為6，O是對角線AC與BD的交點，點E在邊CD上，且DE＝2CE，連線BE，過點C作CF⊥BE於點F，連線OF，則OF的值為

。

二、解法多探

從確定性的角度分析，此圖是“死的”、“鋼板一塊”，整個圖形都是確定的，所有元素都可解，包括各條邊以及各個角等。

為表述方便，手到擒來的一些邊角條件先作交代：

唯獨確定的OF需要“絞盡腦筋”才有望獲解。由於此圖結構精妙，蘊含豐富的基本圖形，故而會產生多種巧思妙解，下面提供若干策略：

基本策略一：“憨態可掬”勾股法

求邊長的最基本思路是：構造直角三角形，採用勾股定理進行計算。

點評1：勾股法顯得那麼的大道至簡，不需將問題想的多複雜，透過最經典的“水平—豎直輔助線”，將所求邊置於構造的直角三角形中，採用平移思想，計算出所需“水平邊”或“豎直邊”。這是改“斜”歸正、化斜為直思想的妙用，是一種最基本的解題策略，後續的所謂“建系解析法”，包括兩點間距離公式等，本質就是勾股法。

基本策略二：“慧眼識圖”相似法

求邊長的另一個重要思路是：尋找基本相似型，採用比例進行計算。

點評2：此法顯得那麼的簡捷完美，需要一雙敏銳的雙眼，慧眼識珠，敏銳地洞察到兩個“射影型”相似結構，應用兩次射影定理，巧妙證出一個比例式，從而得到一對“斜A字型”相似，順利解決問題。

值得一提的是，利用此法，還可以得到∠BFO＝∠BDE＝45°。這是一個有趣的發現，後續的解法中也將會提及這個45°角。

點評3：“對頂相似必成對”，這也是一個經典結構，也可以用四點共圓的眼光來看，得到∠BFO＝45°後，出路其實還有很多，除了上面的“斜A字型”相似外，還可以解△BOF，其邊BO、BF確定，雖為“SSA”，但仍可解，可作OG⊥BF於點G，利用45°設元，在Rt△OBG中用勾股定理列方程求解，當然計算量偏大些。

此外，這裡的“對頂相似法”還可以與後續部分方法結合使用，效果更佳。

點評4：此法略微“臃腫”，稍顯麻煩，之所以提及，是因為正方形中的垂直結構，很容易補成所謂“十字架”結構，如圖1－5所示，

“垂直必相等”。此結構往往可以使問題的求解異常簡單，需要勇於嘗試，它與後續的各種簡便解法可以結合使用，如“12345模型”等，效果非凡，甚至於還能創出新的解法，餘味繚繞，回味無限，值得琢磨；

在“十字架”結構的基礎上，解法4採取的“斜A字型”相似法，是為了呼應解法3中的“對頂相似型”，其核心結構如圖1－7所示，

筆者又稱其為“雙高模型”，可謂“相似成災”，主要有：①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON；②△BCM∽△OFM；③△NOF∽△NCB；

“套路，套路，一套就有路”，很多時候，數學解題就是在玩套路，同學們認真琢磨吧，爭取變成自己的解題套路。

點評5：神威蓋世“K字型”，它是“垂直處理”的常見策略，而且竟然出現了雙“K字型”結構，可謂趣味盎然，巧借設元，妙用比例，導邊導角，渾然天成；

此法亦可以與其他解法結合使用，比如用四點共圓等發現∠OFB＝45°，將更簡潔，當然有無必要性另說。

基本策略三：“抽絲剝繭”三角法

三角是相似的濃縮精華，基於確定性分析的解三角形，是必備的解題品質，善於藉助確定性思想去審題、分析問題，“眼中有角，心中有比”，“導角導邊，靈活自如”，這或許也算是師父（蘇州王曉峰）教誨“大平面觀”的真諦吧！

基於確定性思想分析：△BED確定（SAS或SSS）→∠OBF確定（三角比確定）→△OBF確定（SAS）→OF可求，具體如下：

點評6：三角法，如抽絲剝繭般，步步為營，將問題解決地很徹底，各邊角元素都暴露無遺，解出了問題的本質。這需要較強的分析問題、解決問題的能力，當然也是解題的基本技能之一，尤其是基於確定性思想下的邊角分析，要求學生有明確的導角意識，“眼中有角，心中有比”，目光遠大，無拘無束，形成傳說中的“大平面觀”；

在導角導邊分析的基礎上，△OFC（SAS）與△OFE（SSA）都可解，

如圖1－11及圖1－12所示，有興趣可自行探究；

三角法與其他解法結合使用，還會產生很多有趣的解法，譬如：

基本策略四：“炫目多彩”旋轉法

除了用勾股、相似以及解三角形等“靜態方法”思考問題外，還需養成用平移、對稱、旋轉等“動態方法”嘗試解決問題的意識與能力。如圖1－15，

細緻分析圖形的結構，會發現本題中等腰Rt△OBC形狀與大小都確定，BF、CF又好求，而要求的是OF的長，可以考慮利用旋轉變換，將由F點出發的三條線段集中在某三角形中。

“見不等三爪圖，想旋轉”，可以繞O、B、C順轉或逆轉，一般有六法，故可稱“旋轉六法”，相對而言，繞直角頂點O旋轉，構造所謂“共直角頂點的雙等腰直角三角形手拉手模型”，更簡單些，屬旋轉法的第一層次，即“共頂點，等線段，造旋轉，出全等”；繞點B或點C旋轉，屬旋轉法的第二層次，即“共頂點，成比例，造旋轉，出相似”。

點評7：上述兩種解法屬旋轉法的第一層次，即旋轉全等法，解法9相當於將△COF繞頂點O順時針旋轉90°至△BOT位置，而解法10相當於將△BOF繞頂點O逆時針旋轉90°至△COT位置；然而兩種解法均巧妙避開了旋轉輔助線的新增，而是透過作垂線與已知線段延長相交，再結合題目條件證明上述三角形全等，從而得到所謂“共直角頂點的雙等腰直角三角形手拉手模型”，“殊途同歸”，但有效避開了證明“三點共線”的麻煩，建議同學們用旋轉的眼光來看，用延長等方式去寫。

點評8：上述兩種解法屬旋轉法的第二層次，即旋轉相似法，解法11相當於將△BOF繞點B順時針旋轉45°再位似放大至△BCT位置，而解法12相當於將△BCF繞點B逆時針旋轉45°再位似縮小至△BOT位置；相比而言，前者更好說理些，後者似乎必須藉助四點共圓等方法推出∠OFB＝45°，從而構造出“共45°角的雙等腰直角三角形手拉手模型”，旋轉相似必成對，順利解決問題；若迴避四點共圓等方法，解法9至解法11倒也是證明∠OFB＝45°的好方法，可見雖然理論上，“旋轉六法”都可以解決問題，但繁簡程度不一，需慎重考慮，一般情形下，旋轉全等法比旋轉相似法容易，即繞直角頂點旋轉是首選；

B、C兩點地位等價，同理可以繞點C旋轉，如圖1－20及圖1－21所示，不再展開；

據此，本題又產生新的求法，如圖1－24所示，其本質也是旋轉，相當於將Rt△BOG繞點O逆時針方向旋轉90°至Rt△COH位置；

此模型不妨稱為“同側型共斜邊等腰直角三角形＋直角三角形模型”，用文字描述其結論為：（非等腰）直角三角形較長的直角邊減去較短的直角邊等於兩直角頂點間距離的根號2倍；

它還有一個“姊妹”模型，如圖1－25所示，

不妨稱為“異側型共斜邊等腰直角三角形＋直角三角形模型”，在此結構中有結論：BF＋CF＝根號2*OF，翻譯成文字描述為：（非等腰）直角三角形的兩直角邊之和等於兩直角頂點間距離的根號2倍；

注：圖中標記的數字均是指相應角的正切值。

點評9：“12345秒殺法”是那麼地鏗鏘有力，當然這取決於題目中資料的特殊性，但因其應用廣泛，故想要秒題，需要牢記以下一組神奇的等式：

點評10：該法是如此的霸氣凜然，簡單補形出“十字架”，導角導邊出“123”，利用比例，快速鎖定答案；

當然，這裡的∠OFN＝45°，即∠OFN＝“1”，需要藉助四點共圓等方法得出。

基本策略六：“以備後患”建系解析法

幾何問題幾何解，這是不爭的事實，但有時適當地採用解析法，往往可以打通一片新的天地。建系也需技巧、策略，請比較下面的兩種解法：

基本策略七：“鬼斧神工”托勒密法

若是瞭解以下拓展知識，本題更可以直接秒殺：

（托勒密定理）如圖1－33，在圓的內接四邊形ABCD中，始終有AC×BD＝AB×CD＋BC×AD，即圓的內接凸四邊形的兩組對邊乘積之和等於兩條對角線的乘積。

點評12：托勒密法簡單的令人髮指，數學如此有趣，引無數學子競折腰。

三、變式尋通

下面提供兩道變式問題，供鞏固練習之用：

變式1：

如圖2，正方形ABCD的邊長為6，O是對角線AC與BD的交點，點E在邊CD上，且DE＝2CE，連線BE，過點C作CF⊥BE於點F，連線AF，DF，求AF與DF的值。

無獨有偶，2016年廣西桂林也考了一個類似的問題：

變式2（“骨頭版”）：

如圖3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD於H，點O是AB中點，連線OH，則OH＝

．

三、答案與提示

兩個變式，若干解法，可自行探究，以鞏固各法，筆者僅提供一種解法及簡單感悟：

還有一個有趣的現象，

屬

筆者的瞎想與遐想，分享如下：

若是利用DF求OF的長，會有如下有趣的面積解法：

值得一提的是，若將變式2中等腰Rt△ABC補成正方形，如圖3－2，這不就成為前面的例題了嘛，解法自然豐富多彩，甚是有趣！

一題可破萬題山，此言並非差矣！探索大門已經開啟，插上翅膀自由翱翔吧！