共麵條件方程的幾何意義

平面向量

為高中數學全新內容——（類似於集合）具有與實數不同的運演算法則，融代數特徵和幾何特徵於一體，比較抽象、計算量比較大。高考中，向量既可能單獨出題，也可能與三角函式、幾何等結合起來出題，

總分值在10-20之間

，所以同學們應

重視和熟練掌握

平面向量有關內容。

本文將系統地歸納與總結

平面向量有關基礎知識

——基礎知識是一個數學模組或主題之學習的

基石

（見下圖“三層課程體系之

紅色字型

部分），以幫助同學們以整體視角、高效地進行學習，有效消除學習盲區（死角），使學習更高效、理解更深入。

1.

平面向量概覽

提示

：整體檢視有助於無盲區、融會貫通地學習。

注：空間向量不在本專題範圍之內

2.

向量基本概念

1）

定義

：指具有大小和方向的量。

注意

， 這是

自由向量

，即不關注作用點（而物理中的力，除了大小與方向，還涉及作用點）。

2）

向量相等

： 大小和方向均相同的向量。

注意

，向量不能比大小。

3)

表示

① 有向線段（

提示

：有向線段只有一個方向，而其所在的基線有兩個方向）

② 字母（大寫，由起始點與終點字母表示；小寫，類似別稱），箭頭只能從左到右

4)

大小

a)

模（實數）

可比較大小。

提示

：模的本質是“距離”。絕對值是模的一種。

b)

單位向量

① 即模等於１。

注意

，不同單位向量之間不一定相等（方向未必相同）。

② 向量單位化方法—— |。

c)

零向量

① 即模等於０。

注意

，零向量有方向但未確定（即方向任意），且規定０向量與任何向量垂直和平行。

② 意義——佔位符、運算等意義。

提示：

判斷題中應優先分析與判斷零向量的符合性。

5)

方向

a)

基線

① 有向線段所在直線；

②

注意

，０向量沒有基線。

b)

直線

① 平面內兩直線間有兩種位置關係，即平行和相交；

② 平行和共線是不同的，即被認為是兩種不同位置關係。

c)

有向線段

① 平面內兩有向線段間有兩種位置關係，即平行和不平行；

② 平行和共線是一樣的，即二者被認為是同一種位置關係。而具有這種關係的向量成為

平行向量或共線向量

。

3.

向量的運算

4.

向量的分解

1）

平面(二維)向量基本定理

① 如果兩個向量

a、b

不共線，那麼向量

p

與向量

a、b

共面的充要條件是：存在唯一實數對x、y，使

p

=x

a

+y

b

。這裡，

a、b

兩向量叫基向量，二者的集合叫基底。

提示

：x=y=1時，即為向量加法之平行四邊形運演算法則。

②

作用

：用於判斷共面、分解向量、以及建立向量座標系。

2)

直線的向量引數方程形式

5.

向量的座標與座標運算

1)

平面向量座標系

① 利用一組

正交的單位基向量

來分解平面，即可透過已熟知的平面直角座標系來表示向量。

② 向量的座標書寫

不同於平面座標系中把點座標直接寫成A（x，y），向量OA的座標應寫成OA=（x，y），即

等號不能省

！

2)

座標運算

向量的加法、減法和數乘只需簡單地透過對應

座標之間加、減或(實數範疇內的)乘法

運算。

3)

座標表示的向量共線條件

6.

向量的數量積（

又稱內積、點乘或點積

）

1)

數量積定義

2)

運算律

3)

特性

6.

向量的應用

1） 向量在平面幾何中的應用

主要利用向量加法、減法、數乘以及數量積的幾何性質與意義，將幾何問題轉化為向量問題來進行求解。

2） 向量在物理中的應用

利用向量有關知識，可更輕鬆、高效地學習和理解物理有關問題的知識、原理等。

3)

餘弦定理、正弦定理

（向量在解三角形中的應用）

已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做

解三角形

。在解三角形過程中，應利用初中判斷三角形全等的

SSS、SAS、ASA、AAS

等方法來輔助理解與分析所求問題，比如判斷是否有確定解。

下面結合向量的幾何性質與意義，講述向量在餘弦定理、正弦定理中的應用。

a)

餘弦定理

①

向量法證明餘弦定理

三角形中任意一邊的平方，等於其它兩邊的平方之和減去這兩邊與它們夾角的餘弦之際的兩倍，即：

利用幾何法可證明上述定理及其推論。下面利用向量數量積可簡明地證明之：

②

餘弦定理的作用

在解三角形有關問題時，利用餘弦定理來方便地求解“

已知三邊或已知兩邊及其夾角

”的解三角形問題。

③

勾股定理為餘弦定理之特殊形式

（即兩邊夾角為直角時）

b)

正弦定理

①

向量法證明正弦定理

利用三角形的外接圓（如上圖）可證明上述定理。下面利用向量數量積可簡明地證明之：

由上圖，過A作垂直於的單位向量

j

，則

j

與夾角為，

j

與夾角為；

c)

正弦定理的作用

在解三角形有關問題時，利用正弦定理來方便地求解“

已知兩角一邊或已知兩邊和其中一邊的對角

”的解三角形問題。

思考：

正確利用向量法解決幾何問題，與有關向量的幾何意義密切相關。餘弦定理、正弦定理從

向量數量積

入手來進行證明，為什麼？

溫馨提示

：本號原創之

優質的、天生自帶筆記屬性的公開課程

，可助同學們更高效、深入地進行系統學習或複習，不可多得！

想了解更多精彩內容，快來關注

高考自主學習課堂