南陽師範學院 左軍超

1、 三維空間和四維時空

在三維空間中，最大的特點是兩個點的距離不隨座標系的變換也而變化。你無論是平移還是旋轉，兩個點的距離r始終是一個定值。如果設一個座標為原點，則r=（x^2+y^2+z^2）^（1/2）是一個定值，S=x^2+y^2+z^2為一個定值。

但是在四維時空下，x^2+y^2+z^2不再是一個定值，加入時間這個座標後，S= x^2+y^2+z^2-（ct）^2才是一個定值，亦可以表示為S=r^2-（ct）^2為一個定值，或者S= x^2+y^2+z^2+（ict）^2。其中i是虛數，i^2=-1。

這樣，在四維時空中根據S是一個定值，很容易推匯出v=dr/dt=c，或者vx=dx/dt=c（假設沿x方向運動）。

也就是說，在四維時空中，沒有靜止質量的玻色子，在不與任何其它物質產生相互作用的真空中，其速度為c是一個天然屬性，是由四維時空的自身性質決定的。

這樣，原來三維空間中的三個相互垂直的座標系x軸、y軸和z軸在四維的時空座標中，則由x軸、y軸、z軸和ict軸（簡寫為w軸）代替。任何一點在時空中的座標位置，都可以有x，y，z和ict（w）四個座標來表示。

為了表示直觀，我們捨去y軸和z軸，僅展示出x軸和w軸，並順手推匯出看似神奇的狹義相對論座標轉換公式。

2、 狹義相對論公式的推導

如圖所示，如果假設我們自身為原點，且靜止不動，則我們自身在時空座標中的狀態是什麼？是一條沿w座標軸向上的直線，x座標值始終為0，而時間t在流逝，ict值在不斷增加。

此時，如果有一個物體相對於我們沿著x軸正向以速度v運動，那麼它在時空座標中的狀態是什麼呢？是一條斜直線，如圖所示，如果其x座標表示為vt，則其w座標為ict，其與w座標軸的夾角θ。很容易得出tanθ=-iv/c，並可以順手推出sinθ=-

，cosθ=

。

如果現在我們以該運動物體為參照系，意味著什麼？就意味著該物體的運動狀態變成了新的w軸，我們設為w‘。此時我們就有了一個新的座標系w’、x‘。

那如果原來的座標系中有一點S（x，ict），其在新的座標系中的，其座標值（x’，ict‘）是什麼呢？

根於w’軸相對於w軸的位置可以看出，座標軸繞原點順時針旋轉了θ角，也就相當於座標相對於原點逆時針旋轉了θ。根據座標變化公式，x‘=xcosθ-wsinθ，w’=xsinθ+wcosθ，將sinθ和cosθ的值帶入，即可得

，

這恰好就是狹義相對論的座標轉換公式。

如果仔細看完這個推導過程，就可以看出其實這個推導非常簡單，是四維時空座標系下一個順手完成的事情。唯一需要注意的是時間軸的座標是一個虛座標，處理的時候要小心一點。

狹義相對論的時空座標轉換公式不神奇，真正有意思的是對四維時空的理解，這才是更有價值和意義，也更有趣的事情，對於我們理解量子力學中費米子和玻色子的運動屬性，可以起到非常重要的作用。