五稜柱有多少條對角線

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第一章 空間幾何體

1。1 柱、錐、臺、球的結構特徵

（1）稜柱：定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜柱、四稜柱、五稜柱等。

表示：用各頂點字母，如五稜柱‘’‘’‘ EDCBAABCDE  或用對角線的端點字母，如五稜柱

’AD幾何特徵：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側稜平行且

相等；平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）稜錐定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何

體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜錐、四稜錐、五稜錐等

表示：用各頂點字母，如五稜錐‘’‘’‘ EDCBAP 

幾何特徵：側面、對角面都是三角形；平行於底面的截面與底面相似，其相似比等於頂點到

截面距離與高的比的平方。

（3）稜臺：定義：用一個平行於稜錐底面的平面去截稜錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜態、四稜臺、五稜臺等

表示：用各頂點字母，如五稜臺’‘’‘’ EDCBAP 

幾何特徵：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側稜交於原稜錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特徵：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖

是一個矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一週所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特徵：①底面是一個圓；②母線交於圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。

（6）圓臺：定義：用一個平行於圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特徵：①上下底面是兩個圓；②側面母線交於原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一週形成的幾何體幾何特徵：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。

1。2 空間幾何體的三檢視和直觀圖1 三檢視：

正檢視：從前往後 側檢視：從左往右 俯檢視：從上往下

2 畫三檢視的原則：長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：（1）。平行於座標軸的線依然平行於座標軸；（2）。平行於 y軸的線長度變半，平行於 x，z軸的線長度不變；

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D C

BAα

（3）。畫法要寫好。5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側稜（4）成圖

1。3 空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積

1稜柱、稜錐的表面積： 各個面面積之和

2 圓柱的表面積 3 圓錐的表面積2rrlS  

4 圓臺的表面積22 RRlrrlS   5 球的表面積

24 RS 

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積 hSV  底 2錐體的體積 hSV  底31

3臺體的體積 hSSSSV  ）31

下下上上（ 4球體的體積

3

34 RV 

第二章 直線與平面的位置關係

2。1 空間點、直線、平面之間的位置關係2。1。11 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成 450，且橫邊畫成鄰

邊的 2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的

平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。

3 三個公理：

（1）公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那麼這條直線在此平面內

符號表示為

A∈L

B∈L => L α

A∈α

222 rrlS  

L

A·α

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P·

α L

β

B∈α

公理 1 作用：判斷直線是否在平面內

（2）公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C 三點不共線 => 有且只有一個平面α，

使 A∈α、B∈α、C∈α。

公理 2作用：確定一個平面的依據。

（3）公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共

直線。

符號表示為：P∈α∩β =>α∩β=L，且 P∈L

公理 3作用：判定兩個平面是否相交的依據

2。1。2 空間中直線與直線之間的位置關係1 空間的兩條直線有如下三種關係：

相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；

平行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點。

2 公理 4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設 a、b、c是三條直線

a∥b

c∥b

強調：公理 4 實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。

公理 4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那麼這兩個角相等或互補4 注意點：① a‘與 b’所成的角的大小隻由 a、b 的相互位置來確定，與 O 的選擇無關，為簡便，點 O

一般取在兩直線中的一條上；

② 兩條異面直線所成的角θ∈（0， ）；

③ 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a⊥b；

④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤ 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

2。1。3 — 2。1。4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關係1、直線與平面有三種位置關係：

（1）直線在平面內 —— 有無數個公共點

（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點

（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用 a α來表示

a α a∩α=A a∥α

2。2。直線、平面平行的判定及其性質2。2。1 直線與平面平行的判定

C·

B·

A·α

共面直線

=>a∥c

2

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1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與

此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

a α

b β => a∥α

a∥b

2。2。2 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面

平行。

符號表示：

a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理；

（3）垂直於同一條直線的兩個平面平行。

2。2。3 — 2。2。4 直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平

行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

a∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行。

符號表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2。3 直線、平面垂直的判定及其性質

2。3。1 直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線 L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L 與平面α互相垂直，記

作 L⊥α，直線 L 叫做平面α的垂線，平面α叫做直線 L 的垂面。如圖，直線與平面垂直時，

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它們唯一公共點 P 叫做垂足。

L

p

α

2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點： a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b）定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學

思想。

2。3。2 平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形

A

梭 l β

B

α

2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2。3。3 — 2。3。4 直線與平面、平面與平面垂直的性質1、定理：垂直於同一個平面的兩條直線平行。

2性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內垂直於交線的直線與另一個平面垂直。

本章知識結構框圖

平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）

空間直線、平面的位置關係

平面與平面的位置關係直線與平面的位置關係直線與直線的位置關係