爪形定理是什麼意思

以下內容節選自圖靈《代數的歷史（修訂版）》第6章《獅子的爪子》，［遇見

］

已獲轉發授權。

從16世紀末到18世紀初，儘管不列顛群島經歷了內戰（1642~1651年）、軍事獨裁（1651~1660年）、光榮革命（1688年）以及兩個朝代的更迭（1603年，斯圖亞特王朝推翻都鐸王朝；1714年，漢諾威王朝推翻斯圖亞特王朝），

但這裡仍然出現了一些優秀的數學家。

我之前提到過

哈里奧特，

他的精巧的字母符號體系在很大程度上被忽視了（也許笛卡兒曾關注過）。蘇格蘭人

約翰·納皮爾

（1550—1617）雖然作為代數學家不出名，但他發現了對數並於1614 年將其公佈於世，還普及了小數點。

威廉·奧特雷德

（1574—1660）是英國的一位鄉村牧師，他寫了一部關於代數和三角學的著作，併發明瞭乘號“

×

”。

約翰·沃利斯

（1616—1703）是第一個使用笛卡兒的解析幾何技術和符號的人（他是早已不在人世的哈里奧特的擁護者，他堅持認為笛卡兒從哈里奧特那裡知道了這些記號）。

▲ 1859年“邁爾斯名人肖像系列雕刻版畫”之《艾薩克·牛頓》

然而，所有這些人物都不過是

牛頓

出場的前奏。

這位傑出的天才被公認為科學史上最偉大的人物

。他出生於1642年的聖誕節，是英國林肯郡一個比較富裕的農場主的遺腹子。介紹他的人生經歷和性格特點的作品已經很多了。下面是我自己以前寫過的一段話。

牛頓的人生故事並不吸引人。他從未離開過英格蘭東部，也沒有從商或從軍經歷。儘管當時英國憲政史上發生了一些重大事件，但是他似乎對公共事務毫無興趣。他代表劍橋大學短暫擔任國會議員的經歷並沒有在政治舞臺上激起漣漪。牛頓與其他人沒有任何親密關係。據他自述，他終生未娶，這一點似乎毋庸置疑。他同樣對友誼也漠不關心，出版著作也是迫於無奈，因此他常常使用假名，因為他擔心“公眾的持續關注也許會提升我的知名度，但這會影響我最主要的研究工作”。當他不那麼無所謂的時候，他與同事總是為一些小事而爭吵，他帶著令人惱怒的一絲不苟的態度與人交往，從來沒有出現過讓人愉快的情況。正如英國人常說的一句俗語，他是一個“冷漠的人”（cold fish）。

此時此刻，

我忍不住要講一個我最喜歡的關於牛頓的故事

，儘管我知道這個故事廣為人知。1696年，瑞士數學家

約翰·伯努利

（1667—1748）向歐洲數學家提出了兩道難題。牛頓在看到這兩道題目的當天就解決了它們，並把解答交給英國皇家學會會長。會長把解答寄給伯努利，但是沒有告訴伯努利是誰解出來的。

伯努利一看到這個匿名解答就知道這是牛頓寫的，他說：“我從爪子就能認出這頭獅子。”

這隻鋒利的爪子在代數學歷史上留下了重要的痕跡。

牛頓因對科學的貢獻和發明微積分而聞名，但是他的代數學家身份不是很有名。事實上，從1673年到1683年，他在劍橋大學講授過代數，他把講稿存放在大學的圖書館裡。很多年後，當他離開學術界去擔任皇家鑄幣廠廠長時，他的劍橋繼任者威廉·惠斯頓（1667—1752）把這些講稿集結成書出版了，書名是《普遍算術》。牛頓非常不情願地同意出版此書，他似乎從未喜歡過該書。他拒絕署名，甚至打算把所有出版的書都買下來以便銷燬。牛頓的名字既沒有出現在 1720年出版的該書的英文版本上，也沒有出現在 1722年出版的拉丁文版本上。

然而，讓代數歷史學家感興趣的不是《普遍算術》本身，而是年輕的牛頓在 1665年或 1666年寫下的一些簡短筆記

，這些筆記可以在他的《數學全集》第一卷中找到。它們是用英文而不是拉丁文寫的，開頭是這樣的：

每一個形如：x^

8

+px^

7

+qx^

6

+rx^

5

+sx^

4

+tx+vx+yx+z=0 的方程的 根的個數都等於其次數，所有根之和是

-p

，每兩個根之積的和是+

q

，每三個根之積的和是

-r

，每四個根之積的和是+

s

，等等。

這些筆記沒有陳述任何定理。但是，

其中隱含了一個定理

，這個定理太令人震撼了，數學家們（實際上和《數學全集》的編輯一樣）就把這個隱含的定理稱作

牛頓定理

。

牛頓定理講的是，包含任意多個未知量的任意對稱多項式都可以用初等對稱多項式來表示。

具體內容請見《

代

數的歷史》

書中

所述。但正如我之前提到的，牛頓

的這些筆記讓我們知道了牛頓定理，它們是牛頓在其數學生涯早期（1665年或 1666年）寫下的。當時

他21歲，剛剛獲得學士學位。由於瘟疫暴發，劍橋大學被迫停課，牛頓不得不回到鄉下他母親的家中。兩年後，學校復課，為了獲得獎學金和碩士學位，牛頓回到了學校。在鄉下的那兩年時間裡，牛頓提出了奠定他後來在數學和科學上的發現的所有基本想法。人們常

說，數學家在 30 歲之後就做不出任何原創性的工作了。這種說法難免有些苛刻，但是，人們的確可以透過一名數學家的早期工作發現其思維方式和他最感興趣的主題。

實際上，在做這些筆記的時候，牛頓心裡有一個特殊的問題，這個問題是確定兩個三次方程何時有一個公共解。然而，以下研究對方程理論的進一步發展和所有源於它的全新代數領域都至關重要：

（1） 一般的對稱多項式；

（2） 方程的係數與這個方程的解表示的對稱多項式之間的關係。

17世紀末，在解決了三次方程和四次方程問題的120年後，諸如對稱、方程的係數、解的多項式等都是解決多項式方程理論中一個最著名的問題的關鍵，這個問題就是尋找一般五次方程的代數解。

總的來說，與17世紀和19世紀相比，18世紀是代數發展比較緩慢的時期。

牛頓和萊布尼茨在17世紀六七十年代發明的微積分開闢了大量新的數學領域，但不包括本書中我所指的代數，而是如今被我們稱為“分析”的領域——研究極限、無窮序列、級數、函式、微分和積分等，分析在當時是一個具有魅力的嶄新領域，數學家們投入了極大的熱情，並且開拓了更多數學新分支。

代數的歷史 人類對未知量的不捨追蹤 修訂版

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