被稱為

群

的數學物件源於“數學家對對稱的研究”。簡單說，一個物體（比方說一隻花瓶或一張臉），如果從不同的角度去看，或者從鏡子裡看，它的樣子保持不變，那麼我們就說這個物體是對稱的。但怎樣才能把這種說法精確化呢？從不同的角度去看，它的樣子保持不變，這句話的確切含義是什麼呢？想象在你面前有某個物體，這個物體繞某一條直線或某一個點旋轉了一下。這樣操作之後，這個物體的樣子是否與原來相同？如果相同，我們會說這個物體

對於這種操作

來說是“對稱”的。

例如，取一個圓，讓它繞其圓心隨意地旋轉任何一個角度，結果得到的圖形都與它開始時的圖形完全相同。

我們說圓對於繞其圓心的任何旋轉是對稱的。當然，除非旋轉整整360°（或者360°的倍數），圓上每一點的最終位置都與其原來位置不同。然而，儘管圖形的各個點都動過了，但圖形的樣子卻仍然與原來一模一樣。

圓不但對於繞其圓心的任何旋轉是對稱的，而且對於其任何一條直徑的反射也是對稱的。這裡的反射，是指將圖形上的每一點與所選定直徑那一側正對面的那個點對換。例如，在一個鐘面上，關於豎直直徑的反射就是將表示9時的那個點與表示3時的那個點對換，將表示10時的那個點與表示2時的那個點對換，如此等等。

圓是不同尋常的，因為它有著許多對稱，確切地說，它有著無窮多個對稱。而正方形所具有的對稱就比圓少。如果我們把一個正方形沿任一方向旋轉90°或180°，它的樣子不變。但如果旋轉45°，它的樣子就不同了。過正方形中點且平行於其一條邊的直線有兩條，關於其中任一條直線的反射也是使正方形樣子保持不變的操作。我們還可以對正方形作關於其任一條對角線的反射。

現在，我們已經從一種對“對稱”的通常看法，轉到了關於對物體所作的一種特定操作的對稱這個更為精確的概念上了。讓一個圖形或一個物體（在形狀、位置和方位上）保持不變的操作種數越多，這個圖形或物體通常會被認為越“對稱”。

因為我們要把對稱的概念應用於除幾何圖形或實際物體之外的東西，因此我們將開始用“

變換

”這個詞而不用“操作”。一個變換取定一已知物件（可能是抽象的物件）並把它轉換成其他的東西。變換可以就是平移，也可以是旋轉或反射（對於二維圖形是關於一條直線，對於三維物件是關於一個平面）。它也可能是拉伸變換或收縮變換。

關於對稱的數學研究的重點，

是考察作用在物件上的變換而不是物件本身。

對數學家而言，一個圖形的一個對稱變換就是一個使這個圖形保持不變的變換。也就是說，經過這個變換之後，圖形的樣子從位置、形狀和方位等方面來說與原來相同，雖然各個點都可能動過了。

因為平移是可行的對稱變換之一，所以將一基本圖案不斷重複而形成的牆紙是對稱的。事實上，關於對稱的數學是證明這樣一件驚人事實的理論根據∶

將一個特定的區域性圖案不斷重複以形成對稱性牆紙的可能方式只有17種（

有17個平面對稱群，證明很難

）

。在這裡可以進行的變換（對牆紙圖案的對稱變換）必須作用於整個牆面，而不是其一部分。

牆紙圖案定理

的證明需要嚴密檢查將變換結合起來（例如在進行了一個反射之後接著進行一個沿逆時針方向的90°旋轉）而給出新的變換的方式。

結果發現存在著一個

怎樣把對稱變換結合起來

的算術，正如存在著一個怎樣把數結合起來的算術。在普通的算術中，我們可以把兩個數相加得到一個新的數，也可以把兩個數相乘得到一個新的數。在對稱變換的算術中，你是在進行了一個變換之後接著進行另一個變換而把兩個對稱變換結合起來的，這樣便得到了一個新的對稱變換。一個物件的所有對稱變換的集合，連同用這種方法把它們結合起來的算術，就是數學家所謂的

對稱群

。

例如，一個圓的對稱群包括繞其圓心的所有旋轉、關於任一條直徑的反射，以及這些變換的任意結合。圓在繞其圓心的旋轉下的不變性稱為

旋轉對稱

；在關於直徑的反射下的不變性稱為

反射對稱

。

對稱群的算術在某種程度上與數的算術相似，但也存在著差別。18世紀後期這個“新算術”的發現，打開了一大批新穎數學成果的大門。這些成果不僅對數學，而且對物理、化學、晶體學、醫學、工程、通訊和計算機技術都產生了影響。

由於圓的對稱群是一個十分簡單的例子，我就用它來說明如何對一個群做算術。

設S和T是一個圓的對稱群中的兩個變換，那麼“

先是進行S接著進行T

”仍然是這對稱群中的一個變換。數學家用

表示這個二重變換。這個運算的法則在以下三個方面與數的加法運演算法則類似。

第一，這個運算具有所謂的結合律∶如果S，T，W是這個對稱群中的三個變換，則：

第二，存在一個恆等變換，任何變換與其相結合結果毫無變化。它就是

零旋轉

，即轉過0角度的旋轉。零旋轉被記為I，它能與任何其他變換T結合，得到：

旋轉I在這裡的作用與數0在加法中的作用相同。

第三，每一個變換都有一個逆∶如果T是任意的一個變換，則存在另一個變換S，使得這兩者結合起來得到恆等變換∶

一個旋轉的逆是沿相反方向轉過相同角度的旋轉。任何反射的逆就是其自身。逆的存在性是我們所熟悉的又一條關於整數加法的性質∶對每個整數m，都存在一個整數n，使得m＋n=n＋m=0。m的逆就是-m，即n=-m。

雖然我們考慮的是圓的對稱群，但上述法則對於任何圖形或物體的對稱變換群來說都是正確的。

一般來說，對於某個由一些事物組成的集合G和一個把集合G中任意兩個元素x和y結合起來以得到G中另一個元素“

x*y

”的運算“

*

”的時候，如果以下三個條件成立，他們就把這個集合稱為一個群∶

對G中任何的x，y，z，有（x*y）*z=x*（y*z）。

在G中存在一個元素e，使得對G中所有的x，都有x*e = e*x = x。

對G中的每一個元素x，相應地有G中的一個元素y，使得x*y=y*x=e，其中e是條件2中的e。

這三個條件（通常被稱為

群公理

），就是我們對把任意一個圖形的對稱變換結合起來的運算所觀得到的性質∶

結合律、存在恆等變換和逆

。因此，一個圖形的所有對稱變換的集合就是一個群∶

G是這個圖形的所有對稱變換的集合，而*是把兩個變換結合起來的運算。

同樣應該很清楚的是，如果G是整數集，運算*是加法，那麼所形成的結構就是一個群。或者，如果G是除去0以外的全體有理數（即整數和分數）的集合，*是乘法，那麼結果得到的也是一個群。你所要做的只是證明，當符號*表示乘法時，上述3個條件對於有理數來說都是成立的。在這個例子中，公理2中的單位元素e是數1。

在群論中，數學家考慮還有什麼其他的性質能從這三條群公理自然地推出。例如，條件2斷言了一種單位元素的存在性。在整數加法的情況中，存在著唯一的單位元素∶

0

。這一點是對所有的群都成立，還是它只是整數算術才特有的性質？

事實上，任何群都只有一個單位元素。如果e和i都是單位元素，那麼將性質2連續運用兩次，即得到等式

因此e和i必定是同一個元素。

上面這個結果意味著，能出現在條件3中的元素e 是唯一的。利用這個事實，我們接下來就能證明，對於G中任意給定的元素x，存在唯一的G中元素y，滿足條件3。

假設y和z都如條件3所述的那樣與x相關。也就是說，假設

那麼

因此y和z是同一個元素。

既然G中只有一個y如條件3所述的那樣與一個給定的x相關，那麼就可以給y一個名稱∶稱它為x的

（群）逆

，通常記為

任何熟悉算術中交換律的人都很可能會問，我們為什麼不把下面這條拿來作為第四條公理

沒有這個法則，就意味著在公理2和公理3中，元素的結合必須要寫成兩種方式。例如，x*e和e*x都出現在了公理2中。

數學家不把交換律列入的理由是∶這樣將把數學家希望考慮的許多群的例子排斥在外。用現在這樣的方式寫出公理2和公理3，而不採用交換律，群的概念會有更廣泛的應用。滿足交換律的群稱為

交換群

，有時則以挪威數學家阿貝爾的名字稱為

阿貝爾群

。