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虧格（尤拉數）分別為0（球面）、1（環面）和2（雙環面）的光滑曲面在龐加萊之前，正如米爾諾和斯蒂威爾所爭論的那樣，唯一定義得很好的拓撲概念確實是閉合曲面的理論，也就是所謂的維2流形...

很多人認為這樣的事情是不可能的，一切都只是我們的猜測，不過所有的事情並沒有準確性，很有可能我們日常生活中所出現的偏差，是宇宙刻意製造的偏差而已，這樣一想所有的事情好像早已決定好了，一切都不是我們能夠改寫的，無論我們怎樣做，最終的結果都只有一...

對於有限與無窮的區別，龐加萊在他1909年的文章中說：羅素先生將會毫無疑問地告訴我，它們沒有心理學上的區分，只有邏輯和認識論上的區分...

龐加萊在數學方面的傑出工作對20世紀和當今的數學造成極其深遠的影響如下是我們在熟悉不過的算術平均-幾何平均不等式（柯西不等式），看看龐加萊是如何解決的p龐加萊的方法非常巧妙，既簡單又簡短，極具吸引力，它是在經典力學下完成的首先取一個對數曲線...