1.

示例：找出一道典型綜合應用題的解題思路的分析過程

例題：

如圖，拋物線C1：y=x^2+b1x+c1的頂點A在直線y=2x+2上，將點A繞原點O順時針方向旋轉900得到點B；拋物線C2：y=x^2+b2x+c2的頂點為B；設點A的橫座標為m。若拋物線C1與C2相交於C和D，且四邊形ABCD為矩形，求m的值。

1） 審題

① 一看題目，估計不少同學就懵了。的確，

本題既有難度，也有複雜度

，千頭萬緒，難倒不少同學。

由於題設很多已知條件都是以間接或隱式的方式給出的，大家首先要弄明白它們的實質意義或意圖，比如頂點、順時針旋轉90度、矩形等。這裡，具備紮實的基礎是關鍵。

② 看懂題後，首先分析待解問題——求引數m的值。

為了求解引數，就得把該引數的背景以及引數的意義弄明白：

a） 引數m的背景是拋物線與直線綜合問題；

b） 當m變化，點A在直線y=2x+2上移動，拋物線C1和C2的位置等特徵也跟著變化；

c） 當使ABCD變為矩形時的m即為所求值。

2） 確定解題思路

① 基於1）的理解和資訊，並根據題設所求問題，由“當使ABCD變為矩形時的m即為所求值”這句話可知，此時可以、也需要得到一個有關m的等量關係來求解（即解方程）；

② 在矩形ABCD中，可用的等量關係很多，究竟選哪個呢？

候選的等量關係包括邊長相等、相鄰邊長垂直、對角線相等、對角線相等且相互平分等。要選中正確的那個，就得依據題設的背景——拋物線與直線綜合問題。由於A、B可知（由已知推出），而C、D在拋物線上，由此合理的選擇自然而然地浮出水平——利用矩形對角線性質來得到所需等量關係；

③ 利用拋物線與直線綜合的性質，可得到所需的C、D兩點的有關值；

④ 利用已知條件，可以把拋物線解析式與A、B的座標以m表示出來。

綜上‘分析’可知，本題的整體

解題思路

可由以下

幾個基本問題

構成：

① 求解拋物線的解析式（以m表示）——“求解析式”問題；

② 求解CD直線方程的解析式（以m表示） —— “求解析式”問題；

③ 求解拋物線與直線DC的交點座標（聯立方程可得，以m表示）————屬 “圓錐曲線與直線位置關係”基本問題；

④ 利用矩形性質AB=CD，可得到一個有關m的等式————“距離”問題；

⑤ 解（含參m的）方程，即得所求m值————“解方程”問題。

提示

：本題參考答案為。有興趣挑戰的同學可以試著解一遍。

2.

求解綜合應用問題的逆向分析方法

提示

：“分析”是指與“綜合”相反的行為，即把綜合在一起的東西

分解

開來進行思考、研究與解決。因此，本文的‘

逆向分析方法

’體現了古老而樸素的

分而治之

思想。

接下來我們從上例中抽象與概括出求解綜合應用題的通用的

分而治之

。

1） 數學分層學習模型（溫習）

這是筆者之前構建的數學分層學習模型。有疑問的讀者可以搜尋相關文章進一步瞭解，這裡不再贅述。

直觀地從圖中可知，

逆向分析方法

，最起碼在能力方面先具備

要在求解綜合應用題目時有優秀表現

。

只要夯實了基礎，絕大多數人的成績應穩定在110+。但若成績還想再上一個臺階而

紮實的“雙基”

。相對於夯實基礎，這個過程更難，更需要時間，更需要耐心與恆心。

其中，能否正確、合理、有效率地找出（尤其是複雜和/或困難的）綜合應用題的解題思路，是綜合能力水平高低的直接體現——即“四能”、數學思想、學科素養等的綜合體現。

因此，後文將重點論述

穩定在135+，還得持續提升自己的綜合能力

。

2） 高效地找出綜合應用題的解題思路的

有助於高效找出綜合應用題的解題思路之逆向分析方法

① 逆向分析方法說明

千言萬語，不如一張圖。請看下圖：

由上圖，‘逆向分析方法’相關要點概括如下：

a） 分析過程是

逆向分析方法

利用綜合法分析是從已知開始，一步一步確定求解題設問題所需的步驟。這也是常見的解答過程的順序。

而逆向分析方法則是以問題為始（相對綜合法，也可稱

‘以問題為始’

），一步一步地倒推出求解待解問題或得到需知條件所需要的需知條件及其相關的基本問題（可利用基本技能求解）。

以終為始

：我們常說學好數學，需要很強的（綜合）能力。這個

提示

：

(綜合)能力在解題過程中主要體現或表現在兩個方面

是作答過程（如運算能力），

一方面

就是分析過程。在分析過程中，特別是遇到難題時，在題設問題與相關基本問題之間建立正確的聯絡、選擇合理的解題思路（或路徑），都需要很強的綜合能力。

b） 解答過程方向與分析過程方向相反，且所得解題思路未必唯一

上圖中，藍色部分為分析過程，從右至左；綠色部分為找出的

另一方面

，從左至右，即透過依次求解各個基本問題，即可順利地解出題目。

另外，所得解題思路未必是唯一的。是否唯一取決於題目的具體情況。求解有些題目時，不同的分析方法、運用不同的數學思想可能找出不同且可行的解題路徑。也正因此如此，才有

解題思路

一說，這是另一個重要話題（可搜尋筆者以前的文章瞭解），本文就不多說了。

c） 可知條件

一方面，可由題設資訊及相關性質簡單推出（即常說的隱式條件。要求有紮實的基礎才能發現它們）；

另一方面，已求解的前一個基本問題的結果可作為後一個基本問題的可知條件。（

解題路徑選擇

：分析時需反過來思考，

注意

。同學們要思考並理解這點，這對理解和掌握逆向分析方法很關鍵！）

d） 分析（即分解）過程可能比上圖更復雜

上圖中，為了使圖可讀性更好，只畫了相對常見、簡單的‘1對1’的分解情況。實際中，有些分解會複雜些，如

若需要某個（未知的）需知條件，則要從題設中找出一個相關基本問題來求得

的求解可能需要用到多個需知條件（如下圖）：

同理，求解一個

待解問題

可能要用到多個其它需知條件（如下圖）：

即使這樣，上述逆向分析方法仍然適用，只是分支多些，複雜度更高一些而已。關鍵是抓住一點——

需知條件也

。

② 逆向分析方法例項

講完上述內容，可能有不少同學還有疑問或疑惑，這也沒關係。現在大家再來看一下

每個需知條件一般可透過相關的基本問題的求解來得到

的分析圖（例項），就能更好地理解這個方法了。

如圖，利用逆向分析方法，可以得到上圖所示的找出解題思路的分析例項。無論是分析還是透過分析得到的解題思路都非常清晰、有條理。這在解答覆雜、有難度的綜合應用題時非常關鍵。在筆者以後有關綜合應用的文章中，會不斷重複地用到或示例、講解該方法。

本文開頭那個例題

：留意和理解圖中隱含的邏輯與思維方法，比如需知條件與基本問題的對應關係——即需知條件需要透過求解基本問題得到、求解基本問題所需可知條件（為非隱式條件時）應是其它要先行求解的基本問題的結果，等等。

提示1

：實際學習中，同學們不必畫出如此規整的圖形，只需畫草圖或（題目不難時）在頭腦中想象即可。關鍵是熟練掌握這樣的思維方法和意識。這裡的圖只是為了論述的必要，以便儘量讓每位同學看明白。

提示2

3.

‘條條道路通羅馬’。有關解題分析方法很多、題目難度也不同且很多時候解題路徑也不是唯一的，所以不用逆向分析方法，一般也能解答出來。而且若該題解題思路唯一，無論是什麼分析方法，得出正確結果的解題思路必定是一樣的。

但相對而言，在解答中等以上覆雜度和難度的綜合應用題時，逆向分析方法有以下顯著優點：

① 以問題為始，也即問題導向，使思考更具目標性和針對性，避免思維盲目發散，可少走彎路或回頭路，從而帶來

逆向分析方法的優點

② 問題導向，也即以問題為主線，更易理解與把我待解問題的實質，更易分析（分解）出相關

高效率

並找出合理的

基本問題

。在面對中等以上覆雜度和難度的綜合應用題時，這點尤為關鍵，可直接影響題目的

解題思路

。

③ 有利於不斷提升問題導向與目標導向的

解出率

。

解決問題的意識和能力

：若一些同學平時偶爾也會使用該方法，這裡筆者建議你們強化該行為的動機與目標的明確性，以便更積極主動應用該方法，減少不確定性（比如緊張時忘了使用，或者盲目、無序地、不完整地使用等）。

提示1

：上述逆向分析方法圖中，愛思考的同學可以體會和理解一下‘雙基’如何在解題過程中發揮其‘基石’的作用的。筆者將在以後的文章中專門來分析與論述該主題。

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