位置的紅點和綠點是什麼意思

在我們現實的3D世界中，平移和旋轉是最常見不過的運動方式，就公差世界來說，這兩種運動方式給我們帶來的影響卻是截然不同的。

話不多說，大家看看下面這張2D零件圖：

圖1 2D標註案例

圖1是一張看起來平淡無奇的2D圖紙，如果我們只討論紅圈處4個孔的位置度，你能看出來有什麼不對勁的地方嗎？

對很多年輕的工程師來說，不一定能看出其中的問題在哪裡，相信很多老道的測量工程師，一眼就可以看出來其中的不爽之處：那就是在測量的時候，會出現圖1中右上角的那個孔（藍圈部分）的位置度誤差會比其它三個孔的位置度誤差要大（很容易超差），而且該孔的位置度會非常不穩定的現象。

為什麼呢？

說到底，都是“旋轉”惹的禍！

今天我們就這個話題，來一次深入探討。本期文章的話題將分為4個部分：

平移，旋轉和敏感度

旋轉對測量結果的影響

旋轉對設計的影響

旋轉與穩健性（Robust）設計

因為篇幅太長，本期文章只放送前兩章，後兩章下次放送。希望對這個話題有興趣的小夥伴能夠耐心的閱讀完。

1. 平移，旋轉和敏感度

平移和旋轉的特點相信大多數小夥伴都很清楚，但是我們還是需要重新認識一下。為了能夠幫助大家理性的認識平移和旋轉，一開始我們就需要建立簡單的數學模型，詳細闡述一些簡單的基礎理論。

1。1 平移和敏感度

假設有一個剛性連線杆（剛性就是不會變形的意思），它現在的運動方式就是朝某個方向純粹的平移（見下圖動畫）。

根據平移的特點，不管它是朝哪個方向平移，該連線杆上任意兩點移動的距離都是相等的。

動畫1 平移

比如，在該連線杆上有兩點，分別是A點和B點。假設我們推動了B點，使得連桿發生了平移，那麼B點由原來的位置移到新的位置B’點，同時，連桿上的另外一個點A點也會移動到新的位置A’點。見圖2。

圖2 連桿平移

因為是我們推動了B點，使得B點發生了位移，位移長度為BB’， 而A點和B點在同一個剛性連桿上，B點發生了位移， A點必然也會發生位移，顯然，A點的位移為AA’。

我們再做一個定義，推動B點後，產生了位移BB’， 我們把BB’稱為原因變數C（Causal Variable）， 而AA’是因為我們推動B點產生位移BB’後被動產生的，我們稱AA’為結果變數O（Outcome Variable）。

這樣的表達是為了說明，一個是因（原因變數），一個是果（結果變數）。

很多時候，人們比較關心結果變數AA’和原因變數BB’之間的關係。我們再引入一個新的名詞，叫敏感度S（Sensitivity）。

敏感度S就能夠體現原因變數C和結果變數O的這種關係。怎麼體現呢？它們滿足下面這個公式：

在圖2的平移過程中，顯然有AA’=BB’。所以可以推算出：

敏感度S為1， 就意味著B點變化多少，A點也變化多少，沒有放大，也沒有縮小。

所以在平移的運動過程中，重點是結果變數和原因變數之間的關係比值是1，即敏感度為1。

在平移的運動中，敏感度為1好像理所當然，沒啥好稀罕的，為啥非要裝逼兮兮的弄一個公式呢？

別急，在另外一種運動中，敏感度就可能不是1了，比如說，旋轉。

1。2 旋轉和敏感度

旋轉的運動方式大家都容易理解，純粹的旋轉就是一個剛性物體圍繞一個固定點進行轉動。

還是拿連線杆為例子，假設該剛性連線杆圍繞C點做旋轉運動，如下圖中的動畫所示：

動畫2 旋轉

同樣的假設，我們不小心推動了B點，把它推至B’點，使得連桿圍繞C點旋轉，然後導致A點會移動到A’點， 見圖3：

圖3 連桿旋轉

基於我們前面的定義，顯然BB’為原因變數C，而AA’為結果變數O。此時敏感度S為：

利用圖3中的相似三角形關係，不難計算出敏感度的具體值：

顯然，這個敏感度的大小取決於圖3中AC和CB的長度之比，實際上也就是取決於C點的具體位置。

目測圖3中C點的具體位置，可以確定的是，敏感度S一定大於1。

這個敏感度又什麼意義呢？

它可以幫助我們計算出結果變數。

假設，我們經過計算，得到S=1。8， 如果B點移動了1mm， C點的移動量一定是1。8mm的。我們可以將公式（1）做一個簡單的轉化：

注意，公式（2）是我們經常會用到的公式，敏感度很多時候由結構決定，原因變數我們可以模擬或者假設，但是結果變數是需要被計算出來的，那就是由公式（2）來計算。

我們為什麼害怕旋轉？就是因為在旋轉運動中（平移不會有這種情況），結果變數O相對於原因變數C的敏感度S可能會大於1， 或者可能大於2，甚至更多。這樣可能會導致結果變數變得更加大，給我們帶來意料之外的負面影響。

當然，敏感度S也可能會小於1，讓結果變數縮小，我們在最佳化設計，或最佳化工藝的時候，可以考慮利用這一點。

講到這裡，很多小夥伴可能開始懵圈，你究竟想說啥？

不要著急，我們慢慢來，現在我們開始回到本文剛開始時提出的案例，來慢慢分析。

2. 旋轉對測量結果的影響

我們先再來看看本文的案例：

圖4 本文案例

圖4中採用位置度公差，管控4個孔。在加工過程中，4個孔的加工工藝是完全一樣的，比如採用加工中心將4個孔在一道工序里加工出來。但是，在測量的時候，我們還是會發現每個孔的位置度大小是不一樣的。

圖5 被加工4孔

見圖5所示，大量的測量資料表明，孔2的測量結果往往會是4個孔中最小的，而孔4則是4個孔中最差的。直覺比較好的小夥伴，甚至可以直接得出以下規律（大機率）：

位置度_孔2 < 位置度_1 < 位置度孔_3 < 位置度_孔4

為什麼呢？

接下來我們就來仔細分析分析。

為了讓分析更加嚴謹，摒棄其他干擾因素，我們再做進一步假設。假設工藝工程師採用加工中心，並採用最短路徑的加工工藝（公差累加最少），即將基準孔B，基準孔C，及被測孔1至孔4一起加工出來（一次裝夾），而且我們又假設加工的誤差全部來自於機床本身的精度誤差，不考慮工裝夾具，產品變形，測量誤差等因素。

加工中心有自己的座標系，我們把它叫機床座標系好了。注意，加工時用的機床座標系和測量時用的基準座標系不是同一個東西。

A。 機床座標系

B。 基準座標系

圖6 機床座標系和基準座標系

如果我們連機床本身的精度誤差都不考慮，認為機床是絕對理想的話，又不考慮其它因素，那麼加工出來的2個基準孔中心位置和4個被測孔的中心位置座標，一定和機床座標系中設定的座標是完美重合的。

A： 加工中心設定孔的位置

B： 加工中心加工出來孔的位置

圖7 加工中心的設定和加工完美一致

如圖7所示，所有加工出來的孔的位置都與加工中心設定的座標完全重合，那麼加工出來特徵之間相對的方位關係肯定是完美的，四個孔的位置度誤差一定是零。

現在我們開始考慮機床本身的精度誤差。

那就意味著加工出來的這6個孔的位置和機床座標系中設定的理論位置會有偏差。見下圖中的動畫：

動畫3 機床加工精度引起的誤差

動畫3中顯示了機床在加工6個孔的時候，因為機床的精度問題，會導致每個孔的實際位置和機床程式設定的座標有點偏差（實際上這個偏差很小），對於這種機床精度原因引起的偏差我們還可以合理的做一下假設：

1。 機床在加工六個孔的時候，相對於機床座標系，每個被加工孔可能的最大偏差基本一樣，都是d（deviation）；

2。 六個孔的實際偏差方向（相對於機床座標系）是各自獨立而且是隨機的；

事實上，4個被測孔本身，基準孔B以及基準孔C被加工“偏”後，對4個被測孔的位置度都有影響，而且這些影響又都不一樣。

所以本節我們再分3個小節來分別討論。

1。 4個孔自身被加工偏後對測量結果的影響

2。 B基準孔加工偏後對測量結果的影響

3。 C基準孔加工偏後對測量結果的影響。

以上三種情況是我們對加工零件時，複雜的誤差源經行的初步分解和分析，下面我們就一一來討論。

2。1 4個孔自身被加工偏後對測量結果的影響

第一種情況，我們先假設B，C基準孔在加工的時候，沒有誤差，它們的實際位置和機床座標系設定的位置是重疊的，即基準是完美的（基準平面A的偏差可以暫時不考慮，它的影響對每個孔是都是公平的）。此時，4個被測孔中，每個被測孔的幾何誤差完全來自於機床本身的精度誤差。

如果BC兩孔的實際位置和機床座標系設定的位置是完美重疊的，那麼基準座標系xoy和機床座標系uov就呈現理想的相對關係（就是說兩個座標系相互之間僅僅理論偏離了設定的某個值），見圖8。

圖8 機床座標系，基準座標系和理想位置

因為機床座標系和基準座標系相互之間的關係是理想的，那麼在機床座標系裡邊，4個被測孔的設定位置就是基準座標系的理論位置了（即理想要素的位置），見圖8。

現在，加工出來4個孔的實際位置和理論位置（機床設定位置）有偏差了。

4個被測孔的實際位置相對於機床座標系設定位置的偏差分別是ds1， ds2， ds3， ds4，相互比較而言，4個孔相對理想位置的偏差，應該都是一樣的（機率上）。即有：

ds1 = ds2 = ds3 = ds4

A。 機床設定位置和加工後孔的實際位置

B。 區域性放大圖

圖9 四個孔的偏差機率相同

如圖9所示，孔4的實際位置度誤差為DS4（DS4=2*ds4），每個孔的實測位置度分別為DS1， DS2，DS3， DS4。

相互比較而言， DS1，DS2，DS3，DS4之間的差異很小（機率上）。

根據第一章節的理論，容易看出，4個被測孔的實際位置度誤差是一個結果變數，而其原因是由機床的加工精度造成的，所以機床精度是原因變數。

在本文中，我們對機床的精度dm再做一個簡單的定義，它表示機床加工出來的孔的實際位置和機床程式設定的座標位置的最大偏差。

顯然，就圖9中的工況而言，有：

也就是說，加工精度dm和實際位置度的偏差是相同的。

注意，為了和機床精度dm做同量的比較，本文中都採用位置度的半值誤差，即位置偏差（單邊）來作比較。

基於本小節的假設，加工精度和實際位置偏差之間的關係是1：1的關係：

O結果變數 = 實際幾何誤差（半值）=ds

C原因變數 = 機床加工精度=dm

就是因為每個被測孔的位置度的半值誤差或位置偏差對加工精度的敏感度S=1，所以機床精度對每個孔影響一樣的（眾生平等）。

這裡稍微再強調一下，機床精度對每個孔的影響一樣，並非意味著每個孔的實際位置度（即位置度誤差）就是一定一樣的，只是說明每個孔的實際位置度都在同樣一個範圍內變化而已（它們的機率一樣）。

2。2 B基準孔加工偏後對測量結果的影響

為了使問題簡單化，我們重新做假設，我們先認為4個被測孔的位置不變，即加工出來4個孔的位置剛好和機床座標系重合。僅僅B孔的位置因為加工精度的原因在變化（先不考慮C，我們認為C孔和B孔保持理想的方位關係）。見圖10：

A。 加工歪了的B基準孔

圖10 加工歪了的B基準孔和區域性放大圖

如果B基準加工歪了後，帶來的後果是是什麼呢？

俗話說，上樑不正下樑歪， B作為基準要素如果位置跑偏了，對以它作為基準的其它被測要素就會有影響，比如說，四個被測孔。

圖11 被影響的4個被測孔

實際加工出來的B基準孔相對於機床設定的位置如果跑偏了，對四個被測孔的測量結果是怎麼影響的呢？影響的敏感度如何？

注意，我們在分析這個問題的時候，做了很多假設（避免搗糨糊），我們認為圖11中四個被測孔的位置和機床設定的位置剛好符合，目前只有B基準加工偏了（C基準先不考慮）。

我們再稍微回顧一下基準系的功能，基準系的功能是幹什麼用的？

基準的功能是用來約束公差帶自由度的。

從評價的角度來考慮的話，基準系的功能是用來約束理想要素的自由度的。

關於基準系功能的這兩種解釋並不矛盾，因為公差帶的中心就是理想要素。

所以，基於基準系ABC的功能，我們不難得出，A基準要求四個孔的理想要素（4根理想的軸）和基準A保持理想的垂直關係，而B基準則要求四根理想要素要和B基準保持理想的距離關係，C基準則是聯合B基準約束了四根理想要素的旋轉方向。

A。 原始圖紙

B 抽取出來的基準和理想要素

圖12 基準和理想要素的關係

見圖12，理想要素1，2，3，4作為特徵組，他們和基準ABC保持理想的方位關係。紅色的基準xoy座標系是由BC構建而成，對於B基準來說，特徵組必須要和基準B在x方向保持12，y方向保持8的關係，見圖12中紅圈部分。

注意，這個12和8是絕對理想的。而且，無論實際零件做得怎樣，理想要素和基準B都必須保持這個12和8的絕對位置關係。

也就是說，如果這個基準孔B加工“歪”了，它會導致理想要素跟著一起“歪”。見動畫4：

動畫4 理想要素和基準一起“歪”

圖13 理想要素和被測要素

圖13中，因為機床精度的原因，導致B基準孔偏了，則它的軸線，基準B也偏離了軌道，而理想要素又和基準B穿同一條褲子，所以理想要素也會偏離。這樣導致被測要素和理想要素之間就有了偏離。

在基準系ABC中， 根據基準系的功能分析，B基準約束的是理想要素（公差帶中心）平移的自由度，所以如動畫4中所示，基準B平移了，理想要素也會平移。

根據平移的特點， 顯然，所以基準B平移多少，理想要素也就平移多少。見圖14：

圖14 基準和理想要素的偏離

如圖14所示，如果基準孔B的最終位置相對機器座標系中設定的位置偏離了dm（機床精度dm對6個孔的影響都是一樣的）， 那麼必然會帶動理想要素相對於機器座標系偏離db， 因為是平移的原因，所以顯然有：

我們還可以計算出敏感度：

這就是說，基準孔加工偏了，對被測孔是有影響的，但是沒那麼恐怖，只是1：1的影響了。

我們還可以把公式（4）做一個轉化：

公式（5）表達的就是，基準B加工歪了後，對被測孔位置偏差帶來的影響。

我們再來看看第3中情況，如果基準孔C加工偏了，對被測孔有多大的影響。

2。3 C基準孔加工偏後對測量結果的影響。

同樣，我們再來做個假設，假設4個被測孔，基準孔B加工出來的位置和機床座標系是完美一致的，只有基準孔c加工偏了。見下面動畫：

動畫5 基準C加工偏了

囉嗦一句，可能有些小夥伴開始覺得不爽了，你的假設不可能發生啊？哪裡只有C偏的現象？不急，我們現在是分解，後邊我們再綜合起來分析。

因為基準C的功能是約束理想要素旋轉的自由度，如果基準孔C的偏離方向是圍繞B旋轉，那麼它會帶動整個基準座標系旋轉，從而使得理想要素也跟著旋轉。

動畫6 基準C帶動理想要素偏

動畫6中，基準C決定了基準座標系的旋轉。其中，B是座標系的原點， x座標軸一定過基準C， 所以基準C如果有點擾動，座標系可能會旋轉。

動畫6中的示意圖，我希望你多看幾遍，它是本文的核心。

還有，座標系旋轉，必然會導致理想要素旋轉（再囉嗦一下原因，因為理想要素必須要和基準系ABC保持絕對的方位關係），所以四個被測孔的理想要素（綠色點），也跟著旋轉。

理想要素和座標系一起旋轉，而實際被測孔不動（這是我們的假設），那麼必然就會導致實際被測孔軸線，即動畫6中的紅點，和理想要素（綠點）開始貌合神離，有嫌隙，即偏差。

請你仔細觀察動畫6中每個孔的偏差（紅點和綠點的距離）。

圖15 基準C偏差導致各孔的理想要素偏差

由圖15可以看出，因為機床精度dm的原因，基準孔C的中心如果由機器設定位置C點偏歪到C’點，即有：

CC’ = dm

在測量的時候，它會帶動基準座標系旋轉，從而使得每個孔的理想要素也會有偏移，而且這個偏移對每個孔還不一樣。

孔1的理想要素偏離：dc1 = T1L1

孔2的理想要素偏離：dc2 = T2L2

孔3的理想要素偏離：dc3 = T3L3

孔4的理想要素偏離：dc4 = T4L4

目測看，孔2的偏離，即T2L2的距離最小，而孔4的偏離T4L4最大。至於原因，馬上證明，大家先把動畫6再看看。

圖16 基準和理想要素偏差的幾何關係

見圖16，我們做上一些輔助線，不難得出，三角形BL1T1， 三角形BL2T2，三角形BL3T3 三角形BL4T4， 以及三角形BC’C這5個三角形是相似等腰三角形（因為頂角相等）。

基於圖16中的幾何關係。不難得出每個被測孔相對於基準孔C偏差的敏感度：

從上面4個裝逼的公式中我們可以得出一個結論，每個孔的的實際位置度偏差相對於C偏差的敏感度是固定的，但是每個孔的敏感度大小相互之間又不一樣，取決於它的相對於基準系的具體位置。

而且目測4個孔中心位置偏離的舉例，我們可以得出：

所以有：

我們再把前面4個裝逼公式作一下整理，我們就可以得，如果C偏了CC’，對每個被測孔的影響偏差dc具體為：

基於BT1，BT2， BT3， BT4的不等式關係，我們可以得出下列不等式：

基於上面這個不等式，我們可以得出結論：

如果基準孔C加工偏了，對孔2的影響最小，對孔4影響最大。

到這裡為止，我們只對複雜問題進行了單獨的分解，那麼如何把它們結合起來呢？

哪怕是基於我們的假設，現實中機床的精度dm對4個被測孔， B基準孔，C基準孔會同時產生影響的，如下面動畫所示：

動畫7 機床精度對6個孔都有影響

見動畫7，機床精度對4個被測孔，B基準孔，C基準孔都會產生相同程度的影響，這些影響綜合起來後，帶來的後果就會使得被測孔的實測位置度變得更差！

多差呢？

實際上，最終影響就是我們剛剛分析的三種情況的疊加！結合我們剛剛分析的結果，對4個孔的實際位置的最終偏差dt（Total Deviation），我們不難得出以下公式：

根據圖紙中的幾何關係，存在下面的不等式：

將公式（10）帶入公式（6）（7）（8）（9）中，可以得出：

同樣的原理，如果我們開始考慮工裝夾具的精度，產品在加工時的變形，測量誤差等因素，只要這些因素能夠被量化，基於上面建立的數學模型，我們同樣能夠算出來對最終結果dt的影響。

篇幅原因，本期文章就到這裡，我們下期再繼續討論。

本期小結：

本期文章討論了，旋轉對被測要素幾何誤差的影響。第一章講解了敏感度（Sensitivity）這個概念，敏感度是個非常重要引數，它是結果變數和原因變數之間的比例係數。同時平移和轉動對被測要素幾何誤差的影響是有區別的，平移永遠是1：1的影響，所以敏感度是1，而轉動則不然，它可以放大（大於1），也可以縮小（小於1），敏感度和特徵的結構位置有關。

第二章，以圖紙為案例，闡述了被測要素本身，B基準，和C基準被加工“偏”後，各自對被測要素的影響。並說明如果C加工偏後，對4個被測孔帶來的影響更加明顯。

關於我們害怕旋轉的問題，不僅僅在工藝和測量上會有體現，在設計方案上也會體現，我們將在下篇文章中繼續討論，旋轉在設計中的影響以及旋轉和穩健設計之間的關係。歡迎您繼續關注我們！

最後留一個問題給您，就本文案例而言，如果你是工藝工程師，你如何建議設計工程師修改圖紙呢？如果您是設計工程師，您能看出圖紙標註除了對工藝造成更大的困難以外，對設計方案還有哪些潛在的問題？

歡迎您在留言區寫下您的想法。

另外，不同於以往知識點普及文章，本文只是作為一個理論探索，其中的邏輯和分析方法可能有不嚴謹之處，也歡迎您留言給我們指正！